一類分數階金融風險模型的混沌動力學行為分析及控制

張文娟+張曉丹+張英晗

[摘 要]本文提出了一類分數階的金融風險模型。首先，研究了風險模型對初始值的敏感依賴性；然后，研究了風險模型對風險傳遞效率及分數階次的敏感性；最后，采用增加反饋增益矩陣的方法，構造了風險模型的受控系統，數值模擬結果表明該控制方法可以有效地控制混沌。

[關鍵詞]一類分數階；金融風險模型；混沌動力學行為

doi：10.3969/j.issn.1673 - 0194.2017.14.069

[中圖分類號]F832.5；O415.5 [文獻標識碼]A [文章編號]1673-0194（2017）14-0-02

0 引 言

混沌是由確定性系統產生的隨機現象，對初始條件的高度敏感性是其主要特征。混沌經濟學也叫非線性經濟學，它是基于非線性動力學方法來解釋真實的經濟現象的。因為金融風險總是存在于金融活動中，而且金融風險的存在會擾亂正常的金融秩序。所以，金融風險管理成為了一個熱門的研究課題。

近年來，已經發表了不少關于金融風險管理的文章。然而，這些模型較少地考慮金融變量的長期記憶性，所以不能更好地反映風險管理過程的真實情況。與整數階微積分相比，分數階微積分最大的優勢在于具有記憶效應。受此啟發，本文提出了一類分數階的金融風險傳染模型。

1 分數階金融風險模型的提出

其中，狀態變量R，U，V，W分別表示風險發生值，分析值，控制值和傳染值。而且R，U，V，W均是非負的。參數a>0表示風險分析效率，b>0表示風險傳遞效率，c∈R表示風險控制的失真系數，d>0表示風險強度和k∈R表示風險傳染系數。

2 風險模型對初值的敏感依賴性

現在討論模型（1）的初值敏感性。取分數階次為α1=α2=α3=α4=0.95及參數為（a，b，c，d，k）=（10，28，8/3，36，0.5），當初始值分別取（10，10，10，10）和（10，10，10，10.001）時，模型（1）的時域圖（見圖1）。

由圖1可知，從兩個極其相近的初始值（10，10，10，10）和（10，10，10，10.001）出發而產生的兩條軌道，一開始基本是重合的，但隨著時間的不斷推進，兩條軌道之間的差異便顯現出來并迅速分開。這說明風險模型（1）的動力學行為會隨著初始值的微小變化而產生巨大變化，因此該系統對初始值具有高度的敏感依賴性。

3 數值研究風險系統對參數及分數階次的敏感性

3.1 風險系統對參數b的敏感性分析

由圖2a和圖2b可知，當參數b<20時，模型（1）處于穩定狀態；在2025時，模型（1）處于混沌狀態，此時，無法對風險進行長期預測，市場風險處于一種失控的狀態，因而需要及時給予宏觀調控，以此來防止風險系統長期劇烈波動。

3.2 風險系統對分數階次的敏感性

由圖3可知，當α2<0.85時，風險模型（1）處于穩定狀態；模型（1）在0.85<α2<0.9內的分岔點處發生Hopf分岔；當α2>0.9時，模型（1）處于混沌狀態。

4 分數階金融風險系統的控制

4.1 受控系統的構造

5 結 語

本文重點研究了金融風險隨著風險傳遞效率b以及分數階次的變化規律。數值模擬結果表明，風險系統會隨著參數變化從穩定狀態，通過Hopf分岔逐漸發生結構性改變，最終進入混沌狀態。本文還運用增加反饋增益矩陣的方法，構造了金融風險受控系統，并通過數值模擬證明了該受控系統的漸進穩定性，同時分析了增加控制器后的受控系統產生的變化，觀察混沌控制效果。

主要參考文獻

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[4]張曉丹，王啟立.一類分數階超混沌系統及其在擴頻通信中的應用[J].工程科學學報，2015（5）.