變式教學在初中幾何教學中的應用探究

李曙

【摘要】本文闡述變式教學應遵循教學的適度性、針對性以及鼓勵學生積極參與三個原則，結合變式教學在解決初中幾何圖形面積最值問題中的應用實例論述變式教學在初中幾何教學中的應用策略。

【關鍵詞】初中數學 變式教學

幾何圖形 面積最值

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）08A-0075-02

每一個人的求學路上都存在著不同級別的“分水嶺”——中考、高考、考研、考博等，教師都希望學生能不斷地學習，得到更良好的教育，學到更全面的知識。要想提高學生的學習能力，一個很關鍵的因素就是學生要有較強的發散思維，特別是在初中階段，如果一個學生的發散思維得到了很好的訓練，那么他在學習的過程中將會達到事半功倍的效果，對其今后的求學，甚至工作都能起到決定性的作用。變式教學就是一種針對學生發散思維較為有效的數學教學方法，在初中數學的教學過程中有著極高的應用價值。變式教學旨在拓展學生的數學能力，提高學生靈活思考和解決問題的能力以及促進學生多角度和多層面思考問題。

一、變式教學原則

教師在初中數學教學過程中運用變式教學應該堅持教學方法的適度性、針對性以及鼓勵學生積極參與的三大原則，這樣才能更好地發揮變式教學的作用；教師按照學生的學習接受能力和理解能力變換問題，在不改變數學原題的本質的基礎上從不同的角度出發，對數學問題進行合理變化，如變換條件、問題或者提問形式等，將問題呈現在學生面前，利用問題變式，逐步推進，使學生的數學思維能夠更完整地建立起來。

二、教學案例

（一）課本的典型例題、習題是數學問題的精華

教師在教學中要善于借助課本中出現的練習題，讓學生在熟悉了知識點后快速獲得訓練，以此來鞏固學生所學。但是在實際教學中，部分教師在講解課后練習題的時候，往往只是單純地為了講解某一道題而講評，甚至在學生還未真正理解這一類型題的解法的時候，教師又開始講另一種類型題的解法。這種教學方法如同“水過鴨背”，更別說讓學生對同一類題型的解題方法得到進一步的鞏固和運用了。為了讓學生獲得對某一類題型的解法的深刻、系統的認識，筆者選取了人教版九年級上冊P52綜合運用的第7題作為例1：

如圖1，點E、F、G、H分別位于正方形ABCD的四條邊上，四邊形EFGH也是正方形，當點E位于何處時，正方形EFGH的面積最小？

1.分析題目：

①題型分析：本題屬于函數與幾何圖形的綜合運用，主要考查如何利用二次函數的性質解決幾何圖形面積的最值問題。

②已知：四邊形ABCD與四邊形EFGH是正方形；點E、F、G、H在正方形ABCD的四條邊上。求解：點E位于何處時，正方形EFGH的面積最小？

③難點分析：題目中沒有給出任何數值，學生入手較難；如何找等量關系，建立二次函數模型。

④關鍵點：根據正方形的性質，確定判定三角形全等的條件；引導學生設立未知數，用未知數把正方形EFGH的邊長表示出來，從而得出正方形EFGH的面積的表達式，建立函數模型。

2.題目的解法：

①審題

對初中生來說，“函數”是非常抽象的概念，學生難以理解，更別說還需要綜合全等三角形的判定和性質、勾股定理、正方形的性質、二次函數的性質來解決問題。因此，教師在展示題目后，可以設計以下問題讓學生讀題思考：

（1）題目中的已知條件是什么？

（2）該如何理解“點E在何處時，正方形EFGH的面積最小”？

（3）EH除了是正方形EFGH的邊長，還與哪個圖形有關？

（4）線段AE、AH與正方形ABCD有什么關系？

（5）正方形ABCD的邊長是多少？

（6）正方形EFGH的邊長（以EH為例）如何表示？

（7）所求的正方形EFGH的面積該如何表示？

②師生探討解題思路

第一步：證明圖1中的任意兩個三角形全等；

第二步：設立未知數；

第三步：建立二次函數模型；

第四步：根據二次函數性質，求最值。

③解決問題：

師生共同完成答案的書寫工作。

（二）在學生已掌握課本習題的基礎上進行變式訓練

教師在數學教學中不應局限在狹窄的課本知識領域里，而應該讓學生在對知識和技能初步理解與掌握后，進一步深化和熟練，使學生在學習中學會運用課本的知識舉一反三。在對例1充分講解的前提下，筆者對原題進行以下變式：

變式一：如圖2，從矩形ABCD的較短邊AD上找一點E，過這點剪下兩個正方形，它們的邊長分別為AE，DE，點E在何處時，剪下的兩個正方形的面積之和有最小值？

變式意圖：本題與例1為同一類型題，在未給出任何數據的前提下需要確定點的位置。學生能夠運用類比的數學學習方法，遷移知識點，明白本題就是考查二次函數與幾何圖形面積的最值問題的解法，大多學生可以獨立完成此題，但仍需注意未知數的選取和函數關系式的確立。本次變式訓練讓學生對解決無具體數據、函數與幾何結合的題型得到很好的訓練與知識鞏固。

變式二：如圖3，正方形ABCD的邊長為1，E、F、G、H分別為正方形ABCD各邊上的點，且AE=BF=CG=DH，設小正方形的面積為y，AE為x，則y的函數圖象大致是（ ）。（本題為2011年蘭州市中考題）

變式意圖：本題與例1的幾何背景相同，但是還是有區別的：已知條件中正方形的邊長為具體數值1，所求問題變式為利用二次函數解析式求函數的圖象，需要特別注意自變量的取值范圍。選取本題作為變式訓練題，既可以讓學生預先接觸中考題型，讓學生注意中考的方向，又可以讓學生達到舉一反三的學習效果。

變式三：如圖4，等邊△ABC的邊長為1，E、F、G分別是AB、BC、CA上的點，且AE=BF=CG，當點G在何處時，△EFG的面積最小？

變式意圖：本題變換了幾何背景，與求解正方形的面積問題相比較，求解等邊三角形的面積問題較為復雜。學生在解答本題時需要正確添加輔助線、靈活運用三角形的邊角關系，這對學生來說具有一定的難度。筆者在講解此題時采取的是讓學生在小組中探究學習的教學方式。

最后，教師與學生進一步歸納得出在解答有關運用二次函數求幾何圖形面積的最值問題時，應遵循以下規律：

（1）引入自變量，利用幾何圖形的面積公式得到關于面積的二次函數關系式；

（2）把關系式轉化為二次函數的解析式；

（3）結合實際意義，確定自變量的取值范圍；

（4）求二次函數的最大值或最小值。

常言道，“想要給學生一瓢水，自己就要有一桶水。”作為一名教師，我們必須要掌握一定的專業知識。變式教學既可以促進教師多思考、多歸納，又可以培養學生的發散思維，讓學生系統地掌握更多的知識。變式教學是一種較為成熟和教師常用的教學方法，在初中教學中具有一定的優勢，但與其他教學方法一樣，變式教學并不是萬能的。本文針對人教版課本中的一道習題給出了三個基本變式，只是教學方法層面的一些探究，變式的類型并不全面。在初中數學變式教學中，將數學題目的基本條件、問題、圖形進行變化，對初中生開拓思維和培養數學能力意義重大，教師在教學中要注意把握變式教學中水平變式問題的“量”和垂直變式問題的“度”的問題，水平變式題適當地“重復”使“雙基”教學得以實現，利于引發量變到質變；垂直變式問題突破適度，利于學生思維盡情發散。

（責編 劉小瑗）endprint