STORM原始圖像和基于點擴散函數測量矩陣的壓縮感知后處理方法

程 濤,陳丹妮,于 斌

(1. 深圳大學光電工程學院光電子器件與系統(教育部/廣東省)重點實驗室，廣東 深圳 518060；2. 廣西科技大學汽車與交通學院，廣西 柳州 545006；3.深圳大學光電工程學院深圳生物醫學光學微納檢測與成像重點實驗室，廣東 深圳 518060)

STORM原始圖像和基于點擴散函數測量矩陣的壓縮感知后處理方法

程 濤1,2,3,陳丹妮1,3,于 斌1,3

(1.深圳大學光電工程學院光電子器件與系統(教育部/廣東省)重點實驗室，廣東深圳518060；2.廣西科技大學汽車與交通學院，廣西柳州545006；3.深圳大學光電工程學院深圳生物醫學光學微納檢測與成像重點實驗室，廣東深圳518060)

針對隨機光學重構顯微等超分辨率顯微成像技術存在的圖像采集重構慢、空間分辨率低、時間分辨率弱，基于點擴散函數測量矩陣的約束等距性差和重構效果不好等缺點，提出了隨機光學重構顯微(STORM)原始圖像和基于點擴散函數測量矩陣的壓縮感知后處理方法。仿真結果表明，該方法在不改變顯微鏡光學系統的前提下，通過對STORM原始圖像和基于點擴散函數測量矩陣的后處理，能夠大幅提高超分辨率顯微成像的重構效果。

壓縮感知；隨機光學重構顯微；點擴散函數；超分辨顯微成像

OCIS編碼(230.0230 Optical devices；220.0220 Optical design and fabrication；110.0110 Imaging systems)

0 引言

超分辨率顯微成像能使人眼直接觀察放大的微觀過程和結構。超分辨率顯微成像在生物、醫學、材料、精密機械和微電子等領域有廣泛的應用和需求，對于各學科工程和科學前沿問題的解決具有重大意義[1]。可見光波段的光學顯微鏡具有非接觸、無損傷、可探測樣品內部的優勢，是研究器官、組織和細胞的重要工具[2]。由于衍射極限的存在，橫向和縱向分辨率分別只有200 nm和500 nm[3]。超衍射極限的光學超分辨顯微成像理論和技術一直是研究的熱點。

近場光學成像利用近場倏逝波可獲納米量級的分辨率，盡管避免了遠場衍射帶來的Abbe分辨率極限，但僅限于細胞膜表面成像，無法用于活細胞和細胞內成像[1-2]。

遠場突破衍射極限的熒光成像方法利用非線性效應對點擴散函數進行改造，通過縮小熒光光斑來提高空間分辨率達納米水平。軸向分辨可達33～60 nm，橫向分辨率可達16 nm[1]。盡管隨機光學重構顯微(Stochastic Optical Reconstruction Microscopy，STORM)和(熒光)光敏定位顯微((Fluorescence) Photoactivated Localization Microscopy，(F)PALM)[1]可獲得納米分辨率的熒光圖像[2]，但也存在圖像采集速度慢、采集過程復雜、圖像重構速度慢、重構算法復雜、時間分辨率低等缺點。而且重構效果受稀疏激發時熒光分子分布情況的影響很大，當相鄰熒光分子較近時空間分辨率會降低。如何克服當前技術的缺點，實現高速高效的超分辨率顯微成像一直是人們期望的數據采集處理格局。尤其實現納秒乃至皮秒量級時間分辨率的的高速高效超分辨率顯微成像技術是人們一直渴望的[1]。

如能實現對視場所有熒光分子的同時激活/淬滅和一次采集就可以避免STORM和(F)PALM一次只能對一個或少數熒光分子作圖像采集的重復繁瑣工作，從而節約巨大的人力物力資源，縮短超分辨率成像的采集重構周期、極大提高時間分辨率、簡化歷史圖像檔案管理，減少數據量，對于噪聲的處理和控制也能更加地簡化。壓縮感知技術的出現為解決STORM和(F)PALM等的問題和缺點提供了可能。本文針對此問題，提出了STORM原始圖像和基于點擴散函數測量矩陣的壓縮感知后處理方法。

1 基于壓縮感知的超分辨率顯微成像

根據壓縮感知理論，如果信號(圖像也是信號的一種)x是稀疏的，測量矩陣滿足約束等距性(Restricted Isometry Property, RIP)，那么求解式(1)就能以遠低于Nyquist采樣定理要求的采樣率以極大概率實現對x的準確或近似重構。

min‖x‖0s.t.y=Φx

(1)

式中，y是測量數據；Φ既是測量矩陣，Φ∈RM×N(M

盡管不同重構算法對信號x的重構效果有很大的影響，但是測量矩陣Φ性能的好壞對信號x的重構效果的影響卻是決定性的。如果測量矩陣各列和各行不相關性好，行模和列模近似相等，以及各行列元素具有一定的隨機性，那么測量矩陣Φ就會具有較好的RIP性質，其中列的不相關性起主導作用[4-7]。

點擴散函數(Point Spread Function，PSF)是一個無限小物點通過光學系統(例如顯微鏡)在像平面處的光強分布函數[2]。光學系統的成像過程就是物函數與PSF的卷積，如果對物函數和PSF作離散化處理，那么物函數與PSF的卷積就相當于兩個離散向量的內積。文獻[8]基于這一原理，采用PSF構成壓縮感知的測量矩陣Φ，以STORM低分辨率原始圖像疊加后的合成圖像作為測量數據y，采用CVX算法通過式(1)重構出x，最終得到一副21 nm的超分辨率圖像x。在這一過程中測量數據采用的是STORM低分辨率原始圖像疊加后的合成圖像，這就意味著在真實試驗中可以一次激活所有的熒光分子，而不必滿足STORM要求的熒光分子稀疏激發和分時成像的要求。從而實現對所有熒光分子的一次激活或猝滅和一次測量，因此能獲得極高的時間分辨率和圖像的采集重構效率。

2 基于PSF的測量矩陣

文獻[8]以32×32像素的STORM疊加后的模擬原始圖像為研究對象，每次以壓縮感知算法CVX重構其中的8×8像素的子圖。原始圖像的每個像素被分成8×8網格，所有的仿真熒光分子隨機地分布在各個網格中。PSF采用兩個高斯函數疊加而成，標準差幾乎為半個像素。為了盡量減少周邊熒光分子的影響，只從8×8像素的子圖中提取中間的7×7像素作為壓縮感知的測量數據y，這時總計49個像素。采用的測量矩陣為Φ49×4096，Φ的大小為49行和4 096列。49行就是49個像素，對應原始圖像；4 096列就是8×8像素子圖的每個像素被分成8×8網格，這時總計有4 096個網格，對應超分辨(真實)圖像x。

為了與文獻[8]的實驗結果和實驗條件一致，我們的實驗也采用文獻[8]的參數設置，測量矩陣也采用Φ49×4096。為進一步就基于PSF的測量矩陣Φ的性能和改進方法做深入研究，我們以三種不同壓縮比的基于PSF的測量矩陣Φ49×4096、Φ169×4096和Φ625×4096為研究對象。Φ169×4096和Φ625×4096對應的STORM疊加后的原始圖像的分辨率分別比Φ49×4096高2和4倍(即顯微鏡采用的EMCCD記錄相機的像素減小2倍和4倍)。對應Φ49×4096、Φ169×4096和Φ625×4096的超分辨圖像x的網格大小不變，都是21 nm。

圖1(a)和圖2(a)是基于文獻[8]在保持網格大小為21 nm時，基于PSF生成的測量矩陣灰度圖，灰度圖每個像素的灰度值對應測量矩陣該點元素的值。圖1(a)是測量矩陣Φ169×4096，圖2(a)是測量矩陣Φ625×4096。測量矩陣Φ49×4096的灰度圖比圖1(a)更加狹長，需要放大許多倍才能辨認，故未在文中展出。由圖1(a)和圖2(a)可見，基于PSF的測量矩陣的各行各列都非常相似，因而各行各列高度相關，RIP性質很差，非常類似階梯矩陣。

圖1 測量矩陣Φ169×4096的灰度圖Fig.1 Gray image of the measurement matrix Φ169×4096

圖2 測量矩陣Φ625×4096的灰度圖Fig.2 Gray image of the measurement matrix Φ625×4096

壓縮感知多研究的是RIP性質好的隨機矩陣，對行列高度相關的RIP性質很差的基于PSF的測量矩陣(例如圖1(a)和圖2(a))的研究尚未見報道。當前基于壓縮感知的超分辨率成像研究多集中于壓縮感知在超分辨率成像中PSF的具體應用以及實驗實現[9-11]。Elad[12]、Duarte[13-14]和趙瑞珍[15-16]等以各列相關性最小化或平均化為目標優化測量矩陣取得了很好的效果。如果采用這些優化方法，那就意味著需要根據優化后的測量矩陣設計新的顯微鏡(光學系統)。但是當采用的顯微鏡(光學系統)確定后，PSF就確定，無法再做改變，因此這些優化方法不適合基于PSF的測量矩陣。

由于基于PSF的測量矩陣行列高度相關，RIP性質很差，所以文獻[8]的重構效果并不好。如能對STORM低分辨率原始圖像和測量矩陣作后處理，就能顯著提高重構效果和空間分辨率。本文在文獻[8]的基礎上開展21 nm高分辨率時的STORM低分辨率原始圖像和PSF的后處理研究。本文所有計算和模擬都在Matlab2012中完成，操作界面如圖3所示。

圖3 計算軟件操作界面Fig.3 Computing software interface

3 基于PSF的測量矩陣分析及后處理算法

為了研究基于PSF的測量矩陣性質，表1列出了基于PSF的測量矩陣Φ和后處理后測量矩陣ΦT的各種統計學參數(表1中各列數據，除“Jarque-Bera檢驗”外，“/”號左邊的數據表示最小值，“/”號右邊的數據表示最大值；“Jarque-Bera檢驗” 列，“/”號左邊的數據表示符合“Jarque-Bera檢驗”的列數；“/”號右邊的數據表示符合“Jarque-Bera檢驗”的行數)。Jarque-Bera檢驗用于檢驗測量矩陣某行或某列元素是否服從高斯分布。

表1 后處理前后測量矩陣的相關參數

根據已有研究成果[17-23]可知，對測量矩陣作行正交化和行列模單位化處理能有效改善高斯矩陣的行列不相關性，以及行列模的相近性，從而改善測量矩陣的RIP性質。對基于PSF的測量矩陣做各行正交規范化和各列單位化的處理，都屬于矩陣的初等變換。初等變換前后不會改變矩陣的秩，因此存在可逆矩陣P和Q使PΦQ=ΦO，ΦO是對Φ做各行正交規范化和各列單位化處理后的矩陣。

在幾何物理意義上，P表示矩陣初等變換中的行變換；Q表示矩陣初等變換中的列變換。行單位化和正交化起主導地位；列單位化只起較小的作用。因此ΦT=TΦ≈PΦQ=ΦO，其中，T=ΦOΦT(ΦΦT)-1。

因此，我們設計的STORM原始圖像和PSF的后處理方法和流程如下。在觀察階段采用顯微鏡以式(1)中的約束方程的形式采集低分辨率STORM圖像；在后處理階段以矩陣T對測量矩陣Φ和STORM低分辨率原始圖像y做后處理，ΦT=TΦ，yT=Ty；在重構階段以式(2)重構得到高分辨率圖像x。

min‖x‖0s.t.yT=ΦTx，其中yT=Ty，ΦT=TΦ

(2)

通過計算和實驗發現，對基于PSF的測量矩陣連續進行各行正交規范化、各列單位化的循環迭代，一次循環迭代與多次循環迭代的結果并無顯著差異。因此，PSF和STORM原始低分辨率圖像的后處理算法如下：

輸入：基于PSF的測量矩陣Φ，STORM原始圖像y;

1)正交規范化Φ各行向量(且單位化Φ各列向量)，得到矩陣ΦO；

2)ΦT=TΦ≈ΦO，其中，T=ΦOΦT(ΦΦT)-1；

3)yT=Ty；

輸出：后處理后的測量矩陣ΦT和STORM低分辨率圖像yT。

圖1(a)的測量矩陣Φ169×4096進行各行正交規范化后的灰度圖如圖1(b)所示；圖1(a)的測量矩陣Φ169×4096后處理(即圖1(a)的測量矩陣Φ169×4096進行各行正交規范化后，再作各列單位化處理，最后求得ΦT)后的測量矩陣灰度圖如圖1(c)所示。圖2(a)的測量矩陣Φ625×4096進行各行正交規范化后的灰度圖如圖2(b)所示；圖2(a)的測量矩陣Φ625×4096后處理后的測量矩陣灰度圖如圖2(c)所示。圖1(a)和圖2(a)中包含大面積的黑色區域，黑色區域的灰度值為0。這說明圖1(a)和圖2(a)所表示的測量矩陣都是包含大量0的稀疏矩陣。圖1和圖2的(b)和(c)中沒有黑色的區域。這說明圖1和圖2的(b)和(c)所表示的測量矩陣都是不包含0的稠密矩陣。

4 信號重構結果對比及分析

為了進一步驗證后處理方法的有效性，圖4—圖6以OMP，BP和CVX算法計算后處理前Φ49×4096，Φ169×4096，Φ625×4096對相同信號集的測量重構實驗結果。同時以矩陣T乘以基于PSF的測量矩陣Φ的測量值(yT=Ty)，以后處理后的測量矩陣ΦT(ΦT=TΦ)和yT(yT=Ty)重構信號，同樣將實驗結果標示于圖上。信號采用服從高斯分布的熒光分子稀疏信號，對每個稀疏度K值做500次試驗，然后計算信號的精確重構概率。精確重構指的是重構信號和原始信號的信噪比(SNR)大于90 dB。SNR的計算公式：

(3)

式中，x是真實信號，x∈RN, ‖g‖2是向量的l2范數，xR是x的重構結果。

圖4—圖6中的(a)、(b)和(c)圖是采用OMP，BP和CVX算法對測量矩陣Φ49×4096，Φ169×4096和Φ625×4096及相應測量數據后處理前后的精確重構概率和信號稀疏度關系的實驗曲線。

圖4、圖5和圖6中“后處理后”曲線幾乎都高于“后處理前”曲線。由表1可知，圖6中測量矩陣后處理前后的列不相關性(0.999 613、0.906 178)好于圖5(0.999 710、0.960 630)，圖5中測量矩陣后處理前后的列不相關性(0.999 710、0.960 630)遠好于圖4(0.999 976、0.999 923)。因此，圖6測量矩陣Φ625×4096的性能優于圖5，圖5測量矩陣Φ169×4096的性能又遠優于圖4測量矩陣Φ49×4096。圖6(b)中后處理曲線的精確重構概率都為0。圖4(b)是圖4—圖6所有圖中唯一一幅“后處理后”曲線劣于“后處理前”曲線。這是因為BP算法的默認迭代次數只有85步。從理論上說，后處理前后解空間不變，如果默認迭代步數足夠大，圖4(b)中的兩條曲線應該重合。出現這種現象主要是因為圖4中Φ49×4096的列不相關性在處后理前后幾乎無變化(0.999 976、0.999 923)，僅為0.000 053。

在圖4—圖6的OMP，BP和CVX三種算法中，CVX算法的重構效果最好。在圖5(c)和圖6(c)中，“后處理后”曲線幾乎是一條精確重構概率為1的直線，遠遠高于“后處理前”曲線。即使在圖4(c)中，“后處理后”曲線也較“后處理前”曲線有較大提高。因此，OMP，BP和CVX三種算法中，CVX最適合用于基于壓縮感知的超分辨率顯微成像重構。這是因為CVX相較于BP，在目標函數中引入了測量矩陣各列的權重。

圖4 Φ49×4096后處理前后的精確重構概率與稀疏度的關系Fig.4 Prob. of exact recovery vs. the sparsity by before and after post processing

圖5 Φ169×4096后處理前后的精確重構概率與稀疏度的關系Fig.5 Prob. of exact recovery vs. the sparsity by before and after post processing

圖6 Φ625×4096后處理前后的精確重構概率與稀疏度的關系Fig.6 Prob. of exact recovery vs. the sparsity by before and after post processing

圖7—圖9是以CVX算法計算后處理前Φ49×4096、Φ169×4096和Φ625×4096對不同稀疏度信號的某次測量重構實驗結果。圖7(a)是15個熒光分子的真實位置；(b)是采用Φ49×4096模擬生成的STORM低分辨率原始圖像；(c)是后處理前的重構結果，SNR為25.87 dB；(d)是后處理后的重構結果，SNR為40 dB。后處理前后，SNR提高14.13 dB。

圖8(a)是36個熒光分子的真實位置；(b)是采用Φ169×4096模擬生成的STORM低分辨率原始圖像；(c)是后處理前的重構結果，SNR為-9.97 dB，由圖可見重構結果模糊不清，幾乎無法識別；(d)是后處理后的重構結果，SNR為112 dB，圖像非常清晰。后處理前后，SNR提高121.97 dB。

圖9(a)是57個熒光分子的真實位置；(b)是采用Φ625×4096模擬生成的STORM低分辨率原始圖像；(c)是后處理前的重構結果，SNR為-11.08 dB，由圖可見重構結果模糊不清，幾乎無法識別；(d)是后處理后的重構結果，SNR為129 dB，圖像非常清晰。后處理前后，SNR提高140.08 dB。因此，通過對STORM低分辨率原始圖像和PSF做后處理能大幅提高圖像的重構效果和分辨率。基于PSF的測量矩陣性能是影響重構效果的關鍵因素。

圖7 基于CVX和Φ49×4096的STORM圖像分析Fig.7 STORM image analysis based on CVX and Φ49×4096

圖8 基于CVX和Φ169×4096的STORM圖像分析Fig.8 STORM image analysis based on CVX and Φ169×4096

圖9 基于CVX和Φ625×4096的STORM圖像分析Fig.9 STORM image analysis based on CVX and Φ625×4096

基于PSF的測量矩陣的壓縮比(行列比)與測量矩陣的性能密切相關。但是也并非壓縮比越小越好。對于測量矩陣Φ2401×4096，在重構計算過程中會涉及到大量的格羅姆矩陣的奇異值分解運算。由于Φ2401×4096各行列的不相關性突然變得很差，導致格羅姆矩陣幾乎接近奇異化，從而導致計算機運算結果不準或錯誤，因而無法得到好的重構圖像。而且隨著測量矩陣規模的擴大，會導致運算速度以幾何級數的方式降低。小的壓縮比，意味著在現有顯微鏡獲得基礎上，只能得到較低的分辨率。當前對基于PSF的測量矩陣的理論分析和實驗研究很少，因此準確把握和理解基于PSF的測量矩陣的性能需要做大量繁雜而深入的研究。

5 結論

本文提出了STORM原始圖像和基于點擴散函數測量矩陣的壓縮感知后處理方法。該方法在無需對顯微鏡(光學系統)和觀察對象改造和改進的前提下，實現了超分辨率顯微成像重構效果的大幅提升。大大降低了顯微鏡的工程設計和實現難度，為進一步提高顯微圖像分辨率提供一條新的途徑。仿真結果表明三種不同壓縮比的基于點擴散函數測量矩陣Φ49×4096、Φ169×4096和Φ625×4096后處理后，精確重構概率大幅提高。在一組實驗中SNR分別提高14.13 dB、121.97 dB和140.08 dB。

基于PSF的測量矩陣行列比與其性能有密切的關聯。Φ169×4096的性能遠遠優于Φ49×4096。通過對Φ49×4096的STORM低分辨率原始圖像做插值處理或提高現有顯微鏡的分辨率，有望獲得和Φ169×4096一樣或更好的重構效果和更高的分辨率。這也是我們下一步要開展的工作。

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版權聲明

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本刊編輯部

CompressiveSensingPostProcessingofSTORM’sRawImagesandMeasurementMatrixBasedonPSF

CHENG Tao1,2,3，CHEN Danni1,3，YU Bin1,3

(1.Key Laboratory of Optoelectronic Devices and Systems of Ministry of Education and Guangdong Province, Shenzhen University, Shenzhen 518060, China; 2. Automotive & Transportation Engineering Institute，Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou, 545006, China; 3.Shenzhen Key Laboratory of Micro-Nano Measuring and Imaging in Biomedical Optics of Shenzhen,Shenzhen University, Shenzhen 518060, China)

Stochastic optical reconstruction microscopy (STORM) and other super resolution microscopy imaging technology have shortcomings such as slow acquisition and reconstruction of images, low spatial and time resolution, bad restricted isometry property (RIP) and bad reconstruction effect. The compressed sensing post processing method of STORM raw images and measurement matrices based on Point Spread Function (PSF) was proposed. This method enabled the reconstruction effect of super-resolution microscopy imaging to be significantly improved and enhanced by postprocessing of STORM raw images and measurement matrices based on PSF under the premise of not changing microscope optical system. A new way was provided for improve the resolution of microscopic images. The simulation results showed that the accurate reconstruction probability of measurement matrices based on PSF of three different compression ratios was greatly improved after the processing. SNR was improved by 14.13 dB, 121.97 dB and 140.08 dB in a set of experiments respectively.

compressive sensing；stochastic optical reconstruction microscopy；point spread function；super-resolution microscopy imaging

2017-02-21

:國家重點基礎研究發展計劃項目資助( 2012CB825802)；國家自然科學基金資助項目(61335001, 61178080, 61235012, 11004136, 41461082, 81660296)；國家重大科學儀器設備開發專項項目資助(2012YQ15009203)；中國博士后科學基金項目資助(2016M592525)；廣西自然科學基金項目資助(2014GXNSFAA118285)

:程濤(1976—)，男，廣西柳州人，博士，副教授，研究方向：壓縮感知和超分辨顯微。E-mail:ctnp@163.com。

TP391

：A

：1008-1194(2017)04-0031-08