高等幾何課程教學(xué)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐

秦 進(jìn)，朱 彬，代姍妮，柯 鏵

（遵義師范學(xué)院a.數(shù)學(xué)學(xué)院；b.化學(xué)化工學(xué)院，貴州遵義563006）

高教研究

高等幾何課程教學(xué)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐

秦 進(jìn)a，朱 彬b，代姍妮a，柯 鏵a

（遵義師范學(xué)院a.數(shù)學(xué)學(xué)院；b.化學(xué)化工學(xué)院，貴州遵義563006）

作者從高師本科高等幾何課程的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)手段、教學(xué)觀念等出發(fā)闡述了對(duì)高等幾何課程教學(xué)的認(rèn)識(shí)與實(shí)踐。

高等幾何；教學(xué)實(shí)踐；教學(xué)認(rèn)識(shí)；教學(xué)策略

高等幾何與數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)一起被稱為“前三高”，是高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門(mén)重要基礎(chǔ)課[1]。本課程在學(xué)生具備初等幾何、解析幾何、高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析、近世代數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)射影幾何的基本知識(shí)，使學(xué)生能用變換群的觀點(diǎn)來(lái)看待幾何學(xué)，加深對(duì)幾何學(xué)的理解，拓展幾何空間概念。通過(guò)高等幾何課程的學(xué)習(xí)，一方面可以拓寬學(xué)生的眼界，擴(kuò)大知識(shí)面，提高抽象思維、理性思維能力；另一方面還可以加深學(xué)生對(duì)中學(xué)幾何特別是解析幾何理論與方法的理解，從而獲得用高觀點(diǎn)來(lái)處理中學(xué)幾何問(wèn)題的能力，為未來(lái)的中學(xué)幾何教學(xué)打下基礎(chǔ)[2]。

遵義師范學(xué)院有百年師范教育、50年辦大學(xué)的歷史，以“立足地方、服務(wù)基層”為己任，培養(yǎng)了大量扎根地方、面向基層的中小學(xué)優(yōu)秀教師及服務(wù)地方經(jīng)濟(jì)社會(huì)的高質(zhì)量人才。數(shù)學(xué)學(xué)院以“培養(yǎng)適應(yīng)基礎(chǔ)教育改革與地方經(jīng)濟(jì)建設(shè)和社會(huì)發(fā)展所需的高質(zhì)量‘留得住、下得去、用得上’的數(shù)學(xué)本科應(yīng)用型人才”為培養(yǎng)目標(biāo)，自2001年學(xué)校升本以來(lái)，數(shù)學(xué)學(xué)院的招生范圍發(fā)生了較大變化，由單一的省內(nèi)招生逐步擴(kuò)大到在全國(guó)20多個(gè)省（區(qū)、市）招生，2010年，省外生源約占20%，2011～2015年，省外生源有所減少，生源質(zhì)量有所下降，總的來(lái)說(shuō)，相對(duì)省內(nèi)其他老本科院校數(shù)學(xué)學(xué)院生源質(zhì)量總體偏低（錄取總分約低60分左右）。高等幾何在大學(xué)數(shù)學(xué)類(lèi)本科專業(yè)課程體系中是抽象化、邏輯化程度較高的課程，因此大多數(shù)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生都怕學(xué)習(xí)這門(mén)課程，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高，學(xué)習(xí)興趣不濃。如何調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這是每一位高等幾何教師應(yīng)該思考和努力的問(wèn)題。近些年，筆者對(duì)高等幾何課程的教學(xué)方法和手段作了一些改革和探索，有了一些新的教學(xué)體會(huì)。

1 注重教學(xué)內(nèi)容的處理

根據(jù)高等幾何課程教學(xué)大綱的要求，首先應(yīng)注重教材的選擇與處理。筆者除了選用梅向明等[1]編寫(xiě)的《高等幾何》作為教材外，還選用了周興和[3]、羅崇善[4]編寫(xiě)的《高等幾何》作為參考書(shū)，并將張禾瑞[5]編寫(xiě)的《近世代數(shù)基礎(chǔ)》（修訂本）、張禾瑞等[6]編寫(xiě)的《高等代數(shù)》、朱德祥等[7]編寫(xiě)的《初等幾何研究》以及楊文茂[8]編寫(xiě)的《空間解析幾何》等指定為學(xué)生的必讀書(shū)籍。其次，要重視對(duì)《高等幾何》教材內(nèi)容的調(diào)整與處理。多年來(lái)，筆者在教學(xué)過(guò)程中一直在進(jìn)行課程內(nèi)容改革的探索。《高等幾何》的內(nèi)容大體可以分為射影幾何學(xué)理論、仿射幾何學(xué)理論、歐氏幾何理論和非歐氏幾何理論，教學(xué)內(nèi)容為第一章到第六章，對(duì)一般體（域）上射影幾何、一般體（域）上仿射幾何以及實(shí)數(shù)（域）上歐氏幾何沒(méi)有作要求。筆者將幾何公理體系增加為必學(xué)內(nèi)容，以利于學(xué)生理解公理化思想和變換群的觀點(diǎn)，同時(shí)將變換群調(diào)整到第一章，以利于仿射變換、射影變換的教學(xué)，并將高等幾何對(duì)中學(xué)幾何的指導(dǎo)作用作為教學(xué)內(nèi)容。

2 精心設(shè)計(jì)緒論課的教學(xué)

緒論課是課程的先導(dǎo)與靈魂，對(duì)課程的學(xué)習(xí)起著引領(lǐng)、提示和導(dǎo)向的作用，因此上好開(kāi)篇第一課，十分重要。緒論課主要包括課程的發(fā)展歷史、教學(xué)目的、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)特點(diǎn)、教學(xué)要求、教學(xué)重點(diǎn)、學(xué)習(xí)方法和教學(xué)總體安排等內(nèi)容。通過(guò)緒論課的教學(xué)，能讓學(xué)生初步了解高等幾何研究?jī)?nèi)容的豐富性與研究對(duì)象的廣泛性以及高等幾何在幾何學(xué)中的地位，體會(huì)射影幾何學(xué)中的辯證唯物主義觀點(diǎn)。高等幾何中蘊(yùn)含重要的數(shù)學(xué)思想，筆者按科普?qǐng)?bào)告的風(fēng)格設(shè)計(jì)了第一節(jié)課的教學(xué)方案，教學(xué)內(nèi)容既建立在學(xué)生已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，又聯(lián)系生活實(shí)際，通俗、直觀地描述了本課程的內(nèi)容、思想、方法。如在緒論課上，筆者讓學(xué)生認(rèn)識(shí)了以線為元素的幾何觀點(diǎn)（如圖1）[7]；筆者還適當(dāng)引申，介紹了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的“分形”，為仿射坐標(biāo)系的教學(xué)埋下伏筆；筆者展示了如圖2的莫比烏斯帶，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)了射影平面。筆者還在課堂上安排一定的時(shí)間讓學(xué)生了解現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的“動(dòng)力系統(tǒng)”是什么，并將中文中的對(duì)偶、物理中的電路以及數(shù)學(xué)中的代數(shù)、分析、數(shù)值計(jì)算等與教學(xué)內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生不僅對(duì)本課程有了一個(gè)全面的認(rèn)識(shí)，而且興趣頓生，打消了畏難情緒，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)本課程作了充分準(zhǔn)備。

圖1 簸箕

圖2 莫比烏斯帶

3 通過(guò)互動(dòng)交流提高教學(xué)效果

高等幾何課程筆者主要以講授為主，采用啟發(fā)式、討論式的教學(xué)方法。教學(xué)中精心組織各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，發(fā)揮學(xué)生的想象力。針對(duì)學(xué)生缺乏相互研討的弱點(diǎn)，筆者精心設(shè)計(jì)課堂討論，本課程至2008年以來(lái)均開(kāi)展課堂討論，討論內(nèi)容選自使用的教材。課堂討論由學(xué)生自由組合，4～6人一組，不設(shè)組長(zhǎng)；討論時(shí)教師巡回于各小組之間進(jìn)行啟發(fā)、引導(dǎo)；誰(shuí)都可以提出一個(gè)他感興趣的問(wèn)題，然后大家自由討論，最后由教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng)和總結(jié)。由于討論能啟發(fā)學(xué)生積極思考，使學(xué)生很快進(jìn)入“角色”，討論中又重視發(fā)揮教師的啟發(fā)引導(dǎo)作用，學(xué)生普遍反映課堂討論的教學(xué)效果很好。概念的引入、定理的證明、例題的講解等教學(xué)環(huán)節(jié)，筆者都按照數(shù)學(xué)思維規(guī)律與學(xué)生一起分析，與學(xué)生共同探索，最終獲得問(wèn)題的解決，將老師的思維過(guò)程與解題方法教給學(xué)生。在解決問(wèn)題后，引導(dǎo)學(xué)生“回頭看”、“查一查”、“照一照”、“剖一剖”，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣，有效地提高了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

筆者堅(jiān)持進(jìn)行教學(xué)的自我檢查，就教學(xué)內(nèi)容的多少、教學(xué)進(jìn)度的快慢、教學(xué)質(zhì)量的優(yōu)劣、學(xué)生學(xué)習(xí)是否輕松有趣、學(xué)生出勤與作業(yè)情況、學(xué)生對(duì)課程的感受、意見(jiàn)、建議、要求等對(duì)學(xué)生作一個(gè)廣泛的、問(wèn)卷式的調(diào)查，收集學(xué)生對(duì)教學(xué)的建議，并及時(shí)根據(jù)學(xué)生反饋的意見(jiàn)調(diào)整教學(xué)的內(nèi)容、進(jìn)度或方式。學(xué)生對(duì)此熱情很高，有時(shí)甚至把對(duì)學(xué)校職能部門(mén)的意見(jiàn)、建議和要求都提了出來(lái)。通過(guò)問(wèn)卷調(diào)查筆者積累了寶貴的第一手資料，成為進(jìn)一步改進(jìn)教學(xué)的重要依據(jù)。筆者鼓勵(lì)學(xué)生找出教材或教師講授中的錯(cuò)誤或不嚴(yán)密之處，可采用直接與教師交流、發(fā)Email、QQ對(duì)話、在作業(yè)本中夾紙條等方式與老師研討。數(shù)年來(lái)，筆者收到不少來(lái)自學(xué)生頗有見(jiàn)地的意見(jiàn)或建議，促進(jìn)了筆者的教學(xué)改革。

此外，筆者充分利用多媒體教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，使本來(lái)枯燥、抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容變得生動(dòng)、可視，增強(qiáng)了教學(xué)效果，激發(fā)了學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)了課堂氣氛。對(duì)于一些較難且重要的構(gòu)圖，如德薩格構(gòu)圖、帕斯卡構(gòu)圖、布里安香構(gòu)圖等，筆者將其做成動(dòng)畫(huà)，激發(fā)了學(xué)生探究的興趣，并讓學(xué)生體會(huì)到了定理蘊(yùn)含的思想。

4 貫穿高等幾何對(duì)中學(xué)幾何的指導(dǎo)作用

高等幾何蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想對(duì)中學(xué)幾何有著十分重要的指導(dǎo)意義。高等幾何蘊(yùn)含的基本數(shù)學(xué)思想有公理化思想、幾何變換思想和對(duì)偶原理思想等。高等幾何中的變換是把初等幾何的正交變換擴(kuò)大到仿射變換，再擴(kuò)大到射影變換，幾何變換用近代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看是“幾何運(yùn)算”。幾何變換是把一個(gè)幾何圖形變?yōu)榱硪粋€(gè)幾何圖形共同的屬性，是變中有不變。如，二次曲線之間的關(guān)系就是變換關(guān)系[9]；圓內(nèi)接三角形，在仿射變換下，圓可變?yōu)闄E圓，三角形還是三角形，橢圓仍然內(nèi)接三角形；兩個(gè)封閉圖形，在仿射變換下，兩圖形的面積之比保持不變，但兩圖形的形狀可以發(fā)生變化。又如，共點(diǎn)的直線，在射影變換下，直線之間的夾角可能發(fā)生變化，但是它們共點(diǎn)的性質(zhì)保持不變。研究幾何變換，充分利用它的不變性質(zhì)（量），就可以在中學(xué)幾何中得到廣泛的應(yīng)用，在高等幾何中貫穿對(duì)中學(xué)幾何研究方法、思路及中學(xué)幾何教材的探索具有十分重要的意義。

5 力求教學(xué)與科研有機(jī)結(jié)合

遵義師范學(xué)院轉(zhuǎn)型發(fā)展的總體思路是“一個(gè)中心、兩個(gè)目標(biāo)、三個(gè)突出、四個(gè)轉(zhuǎn)變”。“一個(gè)中心”即以教育教學(xué)為中心，以人才培養(yǎng)為核心；“兩個(gè)目標(biāo)”即以建立區(qū)域性綜合大學(xué)和培養(yǎng)高素質(zhì)、高質(zhì)量的應(yīng)用型人才為目標(biāo)。人才培養(yǎng)從知識(shí)與理論培養(yǎng)向應(yīng)用培養(yǎng)轉(zhuǎn)變，科學(xué)研究從理論研究向應(yīng)用研究轉(zhuǎn)變，力求教學(xué)與科研有機(jī)結(jié)合。近些年，筆者在《貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)》、《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》等學(xué)術(shù)期刊發(fā)表高等幾何課改論文十余篇，主持完成省級(jí)教研項(xiàng)目《高等幾何在初等幾何中的應(yīng)用研究》等；高等幾何課程兩次獲得校級(jí)優(yōu)質(zhì)課。筆者注重學(xué)生能力的培養(yǎng)與素質(zhì)的提高，引導(dǎo)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)，鼓勵(lì)學(xué)生以研究者的眼光來(lái)學(xué)習(xí)高等幾何。教師在指導(dǎo)學(xué)生畢業(yè)論文時(shí)，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合高等幾何內(nèi)容進(jìn)行選題，筆者指導(dǎo)的每一屆學(xué)生中都有撰寫(xiě)高等幾何內(nèi)容的畢業(yè)論文，收到了良好的效果，學(xué)生研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力大大提高，適應(yīng)了人才培養(yǎng)的要求，

[1]梅向明,劉增賢,王匯淳,等.高等幾何(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1983.

[2]羅崇善.編寫(xiě)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)教材《高等幾何》的思考[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)),2000,23(6):647-649.

[3]周興和.高等幾何[M].北京:科學(xué)出版社,2003.

[4]羅崇善.高等幾何[M].北京:高等教育出版社,1999.

[5]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)(修訂本)[M].北京:高等教育出版社, 2010.

[6]張禾瑞,郝鈵新.高等代數(shù)(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2007.

[7]朱德祥,朱維宗.初等幾何研究(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2011.

[8]楊文茂.空間解析幾何(第二版)[M].武漢:武漢大學(xué)出版社, 2006.

[9]秦進(jìn).圓錐曲線的線幾何觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考, 2014,(11):54-55.

（責(zé)任編輯：朱 彬）

The Practice and Cognition of Higher Geometric Course Teaching

QIN Jina,ZHU Binb,DAI Shan-nia,KE Huaa
(a.School of mathematics;b.School of Chemistry and Chemical Engineering,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,China)

This paper expounds the exploration practice and cognition of higher geometric course teaching from the aspects of teaching content,teaching methods and teaching concepts of higher geography course in normal university.

higher geometry;teaching knowledge;teaching practice;teaching strategies

G642.4

C

1009-3583（2017）-0109-03

2017-01-14

貴州省科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目（黔科合LH字[2015]7042號(hào)）

秦 進(jìn)，男，貴州遵義人，遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院教授，主要從事高等幾何教學(xué)及數(shù)學(xué)教育研究。