傳動比對齒輪系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響分析

張 強(qiáng)，劉曉宇，汪玉蘭，陳孝玉

（遵義師范學(xué)院工學(xué)院，貴州遵義563006）

傳動比對齒輪系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響分析

張 強(qiáng)，劉曉宇，汪玉蘭，陳孝玉

（遵義師范學(xué)院工學(xué)院，貴州遵義563006）

建立了斜齒輪副的純扭轉(zhuǎn)振動模型，并用級數(shù)解法求解了系統(tǒng)K階響應(yīng)的幅值，最后以傳動比為單變量分析了前六階響應(yīng)幅值受傳動比的影響關(guān)系。結(jié)果表明：在相同的工況和安裝條件下，傳動比越大則齒輪系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值也越大。

傳動比；齒輪系統(tǒng)；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；級數(shù)解法；轉(zhuǎn)動慣量

齒輪系統(tǒng)動力學(xué)是齒輪系統(tǒng)設(shè)計的理論基礎(chǔ)，其研究內(nèi)容主要包括動態(tài)激勵研究、系統(tǒng)模型建立以及動態(tài)響應(yīng)分析[1]。其中穩(wěn)態(tài)響應(yīng)作為齒輪系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的一種，長期以來備受關(guān)注。

系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析主要涉及兩個問題：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值的求解以及系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的靈敏度分析。目前，已有學(xué)者分析了安裝間隙、齒面摩擦、制造誤差等因素對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響[2-5]，但鮮有學(xué)者對傳動比與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的關(guān)系進(jìn)行研究。這一方面是受分析方法的限制，由于齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)模型是非線性的，因此采用直接微分法或差分法[6，7]求解，計算量都非常大；另一方面，許多學(xué)者認(rèn)為傳動比主要是根據(jù)使用需求來確定的，因此分析其與齒輪系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)沒有意義或者沒有必要。事實(shí)上，在一個復(fù)雜的傳動系統(tǒng)中，換擋軸上可能存在多對齒輪，這些齒輪的傳動比往往是不同的，因此在換擋后，由于傳動比的不同，勢必會引起系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的變化，而目前尚無相關(guān)文獻(xiàn)對此進(jìn)行理論分析和解釋。基于此，本文采用了一種較為簡單的級數(shù)解法[8,9]，分析了傳動比對齒輪系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響。

1 齒輪副純扭轉(zhuǎn)振動分析模型

根據(jù)文獻(xiàn)[10,11]可知，無論是直齒輪副還是斜齒輪副，其主要的振動模式均為扭轉(zhuǎn)振動，因此本文主要考慮齒輪副的純扭轉(zhuǎn)振動分析模型。一對齒輪副的純扭轉(zhuǎn)振動物理模型如圖1所示。

穩(wěn)態(tài)條件下對兩齒輪進(jìn)行受力分析，有：

在嚙合線方向上兩齒輪的相對位移x為：

圖1 單對齒輪副的純扭轉(zhuǎn)振動物理模型

將式1表示成相對位移x的微分方程，即可得到齒輪副的純扭轉(zhuǎn)振動模型：

其中

式中，m為等效質(zhì)量，W為等效載荷，W0為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時的外載荷。

2 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的級數(shù)解法

在式3中，嚙合剛度kn和誤差en會隨嚙合過程的變化而變化，因此具有時變特性，故式3的方程又稱為參變微分方程。目前，求解這類方程的方法有直接微分法和差分法，但是計算量都相當(dāng)大。因此，本文用一種簡單的方法——級數(shù)解法來求解，其過程如下：

可將式3寫成如下形式：

此外，令

從式9中可知，系統(tǒng)的時變參數(shù)均在方程的右端，并且其時變周期均為齒頻周期，故可將項展開成以齒頻0為基頻的傅里葉級數(shù)形式。由于時變項的均值為0，故展開后的常數(shù)項也為0，取前六階有：

對應(yīng)的傅里葉系數(shù)為：

設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的前六階為：

將式10和式12代入式9中有：

式中，n=1～6。

故系統(tǒng)k階響應(yīng)諧波的幅值分量為：

3 傳動比對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響

在標(biāo)準(zhǔn)齒輪傳動過程中，假定中心距、嚙合誤差、平均嚙合剛度、齒寬等均不變，當(dāng)齒輪副的傳動比發(fā)生變化時，兩齒輪轉(zhuǎn)動慣量的比值也將發(fā)生變化，關(guān)系如下：

式中，i為傳動比，Ip為輸出端齒輪的轉(zhuǎn)動慣量，Ia為輸入端齒輪的轉(zhuǎn)動慣量。

假設(shè)初始的傳動比i=1，初始的轉(zhuǎn)動慣量Ia=I0，初始的節(jié)圓半徑Ra=R0。當(dāng)i在1～30的范圍內(nèi)變動時，可推出兩齒輪的轉(zhuǎn)動慣量分別為：

將式16代入式4中，可得系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣為：

由式14和式18可知，傳動比的變化將直接引起齒輪系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣發(fā)生變化，進(jìn)而引起系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值發(fā)生變化。此外，傳動比的變化還會引起齒輪副中兩齒輪的齒數(shù)發(fā)生變化。對于輸入端的齒輪有：

式中，mt為齒輪幅的端面模數(shù)，za為輸入端齒輪齒數(shù)。將代入式19中有：

設(shè)輸入端齒輪的轉(zhuǎn)速恒定為n0，則齒輪副的嚙合齒頻為：

由式21可知，傳動比變化也會引起齒輪系統(tǒng)嚙合齒頻發(fā)生變化。

4 MATLAB中的實(shí)例仿真分析

為了更加直觀地分析傳動比對齒輪系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)下k階諧波幅值以及嚙合齒頻的影響，取一組實(shí)例在MATLAB中進(jìn)行仿真分析，其中各項參數(shù)為：n0=2000RPM、R0=0.05m、I0=1.54 × 10-3kg m2、mt=2mm、Ta=50Nm。當(dāng)傳動比i在1～30的范圍內(nèi)變化時，系統(tǒng)前六階響應(yīng)的幅值如圖2～7所示。

圖2 傳動比對第一階諧波響應(yīng)幅值的影響

圖3 傳動比對第二階諧波響應(yīng)幅值的影響

圖4 傳動比對第三階諧波響應(yīng)幅值的影響

圖5 傳動比對第四階諧波響應(yīng)幅值的影響

圖6 傳動比對第五階諧波響應(yīng)幅值的影響

圖7 傳動比對第六階諧波響應(yīng)幅值的影響

從圖3～7可知，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)下的前六階幅值與傳動比近似呈線性關(guān)系。即傳動比增大時，系統(tǒng)前六階響應(yīng)的幅值均線性增大，其中以第一階和第二階的增量較為顯著。從更直觀的角度分析，在輸入端轉(zhuǎn)矩不變的情況下，傳動比增大將使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時的外載荷W0增大，進(jìn)而導(dǎo)致平均位移和增大，從而引起系統(tǒng)各階響應(yīng)的幅值增大。傳動比對齒輪系統(tǒng)平均位移以及嚙合齒頻0的影響如圖8、9所示。

圖8 傳動比對平均位移的影響

圖9 傳動比對嚙合齒頻的影響

從圖8、9可知，在輸入端轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩不變的情況下，傳動比增大將引起齒輪系統(tǒng)的平均位移近似線性增大，同時導(dǎo)致齒輪系統(tǒng)的嚙合齒頻不斷降低。

5 結(jié)論

本文建立了齒輪副的純扭轉(zhuǎn)振動模型，并采用級數(shù)解法求解了齒輪系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下的幅值響應(yīng)，同時在MATLAB中進(jìn)行了實(shí)例仿真分析。結(jié)果表明：在齒輪系統(tǒng)輸入端轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩不變的情況下，增大傳動比會引起齒輪系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下一階和二階響應(yīng)幅值的顯著增加；同時，還會引起齒輪副嚙合齒頻的不斷降低。這些結(jié)論可為后續(xù)的齒輪系統(tǒng)動力學(xué)優(yōu)化提供理論依據(jù)。

[1]李潤方,王建軍.齒輪系統(tǒng)動力學(xué)——振動·沖擊·噪聲[M].北京:科學(xué)出版社,1997.

[2]張晨旭,楊曉東,張偉.含間隙齒輪傳動系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性的研究[J].動力學(xué)與控制學(xué)報,2016,14(2):115-121.

[3]王奇斌,張義民.考慮齒距偏差的直齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性分析[J].機(jī)械工程學(xué)報,2016,52(13):131-140.

[4]陸鳳霞,王浩飛,朱如鵬,等.基于齒面摩擦的人字齒輪副動力學(xué)特性分析[J].振動與沖擊,2016,35(9):204-212.

[5]向玲,賈軼,李媛媛,等.內(nèi)外激勵作用下多自由度齒輪系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性[J].振動與沖擊,2016,35(13):153-159.

[6]馮志華.基于靈敏度分析的機(jī)械結(jié)構(gòu)動力學(xué)修改[J].蘇州絲綢工學(xué)院學(xué)報,2000,120(4):46-50.

[7]于德介,劉福祥.彈性連桿機(jī)構(gòu)的靈敏度分析與動力修改[J].機(jī)械科學(xué)與技術(shù),1997,16(5):842-846.

[8]方宗德,沈允文,黃振東.三路功率分流恒星式減速器的動態(tài)特性[J].航空動力學(xué)報,1990,11(7):341-350.

[9]方宗德,沈允文,黃振東.2K-H行星減速器的動態(tài)特性[J].西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報,1990,18(4):361-370.

[10]張立軍,朱文棟.基于純扭轉(zhuǎn)模型的行星齒輪系統(tǒng)固有振動特性仿真分析[C].2013中國汽車工程學(xué)會年會論文集, 2013.1249-1252.

[11]林江,樓建勇.斜齒圓柱齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)模型及動特性試驗研究[J].機(jī)械工程學(xué)報,2003,39(7):29-33.

（責(zé)任編輯：朱 彬）

An Analysis of theInfluence of Transmission Ratioupon the Steady Response of Gear System

ZHANG Qiang,LIU Xiao-yu,WANG Yu-lan,CHEN Xiao-yu
(School of Engineering,Zunyi Normal College,Zunyi 563002,China)

Pure torsional vibration model of helical gear pair is set up,and the series is used to solve the response amplitude of system order K;in the end,taking the transmission ratio as the single variable,the author of this paper analyzes the response amplitude of previous the sixth order influenced by transmission ration.The result shows that:the bigger the transmission ratio is,the larger the steady response amplitude of gear system is.

transmission ratio;gear system;steady response;series solution

TH132.41

A

1009-3583（2017）-0104-04

2017-01-15

張 強(qiáng)，男，重慶人，遵義師范學(xué)院工學(xué)院講師，碩士，主要從事齒輪減振降噪研究工作。