變限積分函數的求導和應用

朱忠華

摘要：變限積分函數是微積分中一類具有特殊形式的函數，它是聯結眾多知識點的紐帶，是學生學習的重點和難點，在微積分中有廣泛的應用。本文介紹了積分上限函數的概念及其特有的求導性質，并結合實例深入講解變限積分函數的求導以及其在微積分各主要內容中的應用。

關鍵詞：變限函數；不定積分；定積分；導數；連續

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）38-0211-03

一、前言

一元函數微積分[1-3]部分主要涉及六個概念，即極限、連續、導數、微分、不定積分、定積分以及三個定理即微分中值定理、積分中值定理、微積分基本定理（牛頓—萊布尼茲公式）。在這六個概念中，除了不定積分，其他五個概念都是某種形式的極限，所以它們由極限聯系了起來。為了要說明不定積分與其他概念的聯系時，引入了積分上限函數，得出了牛頓—萊布尼茲公式，從而揭示了不定積分與定積分、微分與積分的內在聯系，不但解決了定積分的計算問題，同時微積分的六個重要概念也就相互聯系了起來[4]。

二、變限積分函數的定義與性質

1.定義。對于閉區間[a，b]上連續的函數f（x），設x為[a，b]上的任一點，定積分f（t）dt顯然存在，當x在[a，b]上任意變動時，對于每一個取定的x的值，

f（t）dt就有一個對應的值，這樣就在[a，b]上定義了一個新的函數，稱為變上限積分，又稱為積分上限函數，一般記為Φ（x）=f（t）dt，x∈[a，b]。

這個概念是一個較抽象的概念，我們可以結合幾何解釋：Φ（x）表示一個以f（x）為曲邊的曲邊梯形的面積，當x給一個確定的值，Φ（x）有一個確定的值，所以又稱Φ（x）=f（t）dt為面積函數。

記Ψ（x）=f（t）dt，x∈[a，b]稱為變下限積分，又稱為積分下限函數。Φ（x），Ψ（x）統稱為變限積分函數。因Ψ（x）=f（t）dt=-f（t）dt也可化為積分上限函數，所以本文主要討論積分上限函數的情況。

積分上限函數，這是一類特殊的函數，具有與普通函數相同的特征；又由于它的上限是變化的，變限積分是一種特殊的定積分，它具有很多特殊的性質。特殊性決定了它的重要性，變限積分內容也是各類考試經常要考到的一個重要知識點，本文就只介紹它的求導的性質，證明略。

2.變限積分函數的求導性質。

定理1：如果函數f（x）在區間[a，b]上連續，則變上限函數Φ（x）=f（t）dt在[a，b]內連續、可導，且

Φ′（x）=f（t）dt=f（x）。

注：其中區間a可為-∞，b可為+∞。

由復合函數的求導，積分上限函數的求導可得如下一般形式：

推論1：[f（t）dt]′=f（t）dt=f（g（x））·g′（x）

此定理是變限積分的最重要的性質，掌握此定理需要注意兩點：第一，下限為常數，上限為參變量x或只含x的表達式g（x）；第二，被積函數f中只含積分變量t，不含參變量x。

求導計算舉例：

例1：設Φ（x）=dt，求Φ'（x）.

解：在的連續區間內任選一點，比如取t=0，可得

dt=dt+dt

=-2+2x.

注：由此題，可得對變限積分函數的求導更一般的結論：

推論2：[f（t）dt]′=[f（t）dt+∫f（t）dt]′=f（g（x））·g′（x）-f（h（x））·h′（x）.

例2：設f（x）可導，求∫tf（2x-t）dt.

分析：在學習積分上限函數時，要注意區分積分上下限變量與積分變量，不要混淆。這里被積函數f中除含積分變量t外，還含參變量x，不能直接使用變限積分函數的求導性質，通常要通過變量替換消去被積函數f中參數x，則令u=2x-t即可.

解：令u=2x-t，則tf（2x-t）dt=（2x-u）f（u）du

=2xf（u）du-uf（u）du

∴（tf（2x-t）dt）=2f（u）du+2x[2f（2x）-

f（x）][-2xf（2x）·2-xf（x）]

=2f（u）du-xf（x）.

處理這類問題的關鍵是：變限積分作積分變量替換同普通定積分一樣，必須對變限積分的上下限作相應地替換，即仍然遵循定積分的“不換元不換限，換元必換限”的原則。

三、變限積分函數求導應用的典型例題

掌握好變限積分的求導運算是非常重要的，當我們碰到變限積分的題目時，不是想辦法去求出這個變限積分的函數表達式，而是應該想到用求導性質去解決具體的問題，下面分情況來討論變限積分求導的應用。

1.討論變限積分函數的極限問題。

例3：求.

解：是未定型，用洛比達法則，

原式====-.

注：通常這類或的未定型極限都可用洛比達法則來計算，在計算過程中可用等價無窮小量來進行因式替換，簡化計算。

2.討論變限積分函數的連續性問題。

例4：討論f（x）=，x>0 2，x=0，x<0的連續性.

解：（1）當x>0時，f（x）顯然是連續。

（2）當x<0時，對任何t，cost是連續的，可得

costdt是x的連續函數，

故f（x）=是連續的.

（3）當x=0時，f（x）===1，

而f（x）=2=f（0），因此f（x）在x=0處不連續，但它是右連續的

3.討論變限積分的隱函數與參數方程求導問題。

例5：已知edt+costdt=0，求.endprint

解：隱函數方程，兩邊對x求導，得

e·y′+cos（xy）·（y+xy′）=0，整理得y′==。

4.討論變限積分函數的單調性與奇偶性等問題。

例6：設f（x）為奇函數，在（-∞，+∞）內連續且單調遞增，F（x）=（x-3t）f（t）dt

求證：（1）F（x）為奇函數；（2）F（x）在[0，+∞]上單調遞減.

證：（1）∵F（-x）=（-x-3t）f（t）dt

（-x+3u）f（-u）d（-u）

=-（x-3u）f（u）du=-（x-3t）f（t）dt=-F（x）

故F（x）為奇函數。

（2）∵F（x）=xf（t）dt-3tf（t）dt

∴F（x）=f（t）dt+xf（x）-3xf（x）=f（t）dt-2xf（x）

=f（t）dt-f（x）dt-xf（x）

=f（t）dt-f（x）dt-xf（x）

=[f（t）-f（s）]dt-xf（x）

∵f（x）在（-∞，+∞）內為增函數與奇函數，

∴f（t）-f（x）<0，xf（x）>0

∴[f（t）-f（x）]dt<0，-xf（x）<0

于是：F（x）=[f（t）-f（x）]dt-xf（x）<0，

x∈（0，+∞）

故：F（x）在[0，+∞]上單調遞減。

5.討論含變限積分方程的根的情況。

例7：已知函數f（x）=dt+dt，求

f（x）零點的個數.

解：f′（x）=-+2x=0，得駐點x=.

當x<時，f′（x）<0，f（x）單調減少；當x>時，f′（x）>0，f（x）單調增加.

因f（1）=0，所以f（x）在x>時存在唯一零點且

f（）<0.

又f（x）=+∞，f（）<0，所以f（x）在x<時也存在唯一零點.

綜上，f（x）有且僅有2個零點。

6.求被積函數為變限積分函數的定積分。

例8：設f（x）=dt，求f（x）dx.

解：因f（0）=0，f（π）=dt，f′（x）=，

所以f（x）dx=[xf（x）]-xf′（x）dx

=πf（π）-dx=πf（π）+sinxdx=πf（π）+sinxdx-πf（π）=[cosx]=2.

7.求解積分方程。

例9：設函數f（x）具有連續的一階導數，且滿足

f（x）=（x-t）f′（t）dt+x，求f（x）的表達式.

解：f（x）=xf′（t）dt-tf′（t）dt+x，且f（0）=0，

兩邊求導得，f′（x）=2xf′（t）dt+xf′（x）-

xf′（x）+2x=2xf′（t）dt+2x

=2x[f（x）-f（0）]+2x=2xf（x）+2x

即f′（x）-2xf（x）=2x，求解一階線性微分方程，得

f（x）=e（-e+C），又f（0）=0，得C=1，所以f（x）=e-1.

注：這類問題總是通過兩端求導，將所給的積分方程化為微分方程，然后求解，注意初值條件隱含在積分方程內。

9.在證明不等式題中的應用。

例10：設函數f（x），g（x）在區間[a，b]上連續，且

f（x）單調增加，0≤g（x）≤1.

證明：（I）0≤g（t）dt≤x-a，x∈[a，b]；

（II）f（x）dx≤∫f（x）g（x）dx.

證明（I）：因0≤g（x）≤1，所以x∈[a，b]時，有

0dt≤g（t）dt≤1dt，

即0≤g（t）dt≤x-a，x∈[a，b].

證明（II）：令F（x）=f（t）dt-f（t）g（t）dt，x∈[a，b]，F（a）=0

因設函數f（x），g（x）在區間[a，b]上連續，所以

F（x）在[a，b]上可導，且F′（x）=[f（a+g（u）du）-f（x）]g（x）。

由（I）知，a+g（u）du≤x，又已知f（x）單調增加且g（x）≥0，所以F′（x）≤0，從而F（x）在[a，b]上單調減少，F（b）≤F（a）=0，即∫f（x）dx≤∫f（x）g（x）dx.

以上例題中的例7、例9、例10都是近幾年考研的試題。總之，變限積分函數是一個非常重要而又特殊的一類函數，它的求導性質必須熟練掌握并能進行各方面的應用。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數學系.高等數學（上冊）[M].高等教育出版社，2006.

[2]華東師大數學系編.數學分析[M].高等教育出版社（第三版），1994.

[3]萬學海文考試研究中心.2015考研數學真題大解析數學二[M].中國時代經濟出版社，2013.

[4]盧亞麗，李艷華，等.變限積分函數求導方法研究[J].河南教育學院學報，2004，13（1）.endprint