分析代入法在初中代數(shù)中的應(yīng)用

關(guān)樹(shù)毅

摘 要：代入法最初是數(shù)學(xué)解題方法的一種，主要集中運(yùn)用在解方程組中，發(fā)揮著極其重要的作用。讓計(jì)算變得更加簡(jiǎn)單，并且能夠有效的驗(yàn)證答案的對(duì)錯(cuò)，減少出錯(cuò)率。本文主要分析代入法在初中代數(shù)中的應(yīng)用，以供參考。

關(guān)鍵詞：代入法；初中數(shù)學(xué)

代入法是一種基本的解代數(shù)題的方法，尤其是解方程組和求代數(shù)值時(shí)，代入法非常有效，使計(jì)算變得簡(jiǎn)便、快捷。而其中代數(shù)式求值是初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的問(wèn)題，也是中考、競(jìng)賽中常見(jiàn)的題型。下面通過(guò)一些數(shù)學(xué)解題實(shí)例來(lái)具體探討一下代入法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

1代入法概述

使用代入法的目的是“消元”，常被運(yùn)用在二元一次的方程當(dāng)中。通過(guò)簡(jiǎn)單系統(tǒng)選擇，用X（未知數(shù)）來(lái)代替的方式進(jìn)行求解問(wèn)題。通過(guò)代入法運(yùn)用，把二元一次轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的一元一元方程，此時(shí)即可求解一元一次方程，把所得的值代入原來(lái)的二元一次方程中得出另一個(gè)值，此時(shí)，二元一次方程的問(wèn)題就變得非常簡(jiǎn)單。

2代入法在初中代數(shù)中的應(yīng)用

2.1整體代入法

“整體代入”是數(shù)學(xué)中常用的解題方法，其用法是當(dāng)單個(gè)字母的值不能或不用求出時(shí)，將“含有字母的式子”看做一個(gè)“整體”直接代入到待求的代數(shù)式中去求值的一種方法，從而求出結(jié)果。通過(guò)整體代入，實(shí)現(xiàn)降次、歸零、約分的目的，以便快速求得其值。

解題方法：首先應(yīng)從題設(shè)中獲取含字母的代數(shù)式（不含常數(shù)項(xiàng)）的值，然后利用“整體代入法”求代數(shù)式的值。

例1.已知x2+x-1=0，求x3+2x2+3的值。

解：∵x2+x-1=0

∴x2+x=1

∴原式=x（x2+x）+x2+3=x2+x+3=1+3=4

評(píng)注：在單個(gè)字母取值不確定的情況下，某些代數(shù)式的求值要借助于“整體代入法”，即把某個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)整體。用“整體代入法”求值的關(guān)鍵是確定“整體”。

2.2化簡(jiǎn)代入法

化簡(jiǎn)代入法是指把所求的代數(shù)式先進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再代入求值。這是代數(shù)式求值中最常見(jiàn)、最基本的方法。

例2.先化簡(jiǎn)，再求值（a2b-2ab2-b3）÷b-（a+b）（a-b），其中a=1/2，b=-1。

解：原式=a2-2ab-b2-（a2-b2）

=a2-2ab-b2-a2+b2

=-2ab

當(dāng)a=1/2，b=-1時(shí)，

原式=-2ab=-2×1/2×（-1）=1

2.3式子變換法

當(dāng)已知條件或求值的代數(shù)式不易化簡(jiǎn)時(shí)，可以變換已知條件或求值的代數(shù)式，使兩者之間建立聯(lián)系。

2.3.1變換已知條件

例3.已知α是方程x2+x-1/4=0的根。求α3-1/α5-α4-α3-α2的值。

解：∵α是方程x2+x-1/4=0的根，

∴α2+α=1/4

原式=（α3-1）/（α5-α4-α3-α2）

=[（α-1）（α2+α+1）]/[（α-1）（α2+α）2]

=α2+α+1/（α2+α）2

=（1/4+1）/（1/4）2

=20

說(shuō)明：把題目給定的條件經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形，使之出現(xiàn)要求值的代數(shù)式且沒(méi)有其他字母，這樣就可以求出代數(shù)式的值。

2.3.2變換求值的代數(shù)式

例4已知x2-3x-2=0。那么，代數(shù)式[（x-1）3-x2+1]/（x-1）的值為（ ）。

解：[（x-1）3-x2+1]/（x-1）

=（x-1）2-（x+1）

=x2-3x

∵x2-3x-2=0，

∴x2-3x=2

故（x-1）3-x2+1/x-1=x2-3x=2。

說(shuō)明：變換所求值的代數(shù)式，使它成為用已知條件中的式子表示的形式，然后代入求值。

2.4直接代入求值

直接代入法是做選擇題時(shí)的一種高效、準(zhǔn)確的解題方法，即直接將選項(xiàng)中的答案一一帶入題目要求中，符合題意與題目要求的即為正確答案，因此，直接代入法也被稱(chēng)為驗(yàn)證法，可以有效地提高解題的準(zhǔn)確性和做題的速度。

例5.求當(dāng)α=-3，b=2/3時(shí)，代數(shù)式時(shí)代數(shù)式α2+ab+3b2的值。

分析：用宇母數(shù)值代替代數(shù)式中的字母按代數(shù)式指明的運(yùn)算，計(jì)算出結(jié)果。

解：當(dāng)α=-3，b=2/3時(shí)，

原式=（-3）2+（-3）×2/3+3×（2/3）2

=9-2+3×1/9

=25/3

評(píng)注： ①相應(yīng)數(shù)字均應(yīng)代人相應(yīng)字母，特別是有兩個(gè)或兩個(gè)以上字母時(shí)，切不要代錯(cuò)。②代入時(shí)除按已知給定的數(shù)值，將相應(yīng)的字母換成相應(yīng)的數(shù)字外，其他的運(yùn)算符號(hào)，運(yùn)算順序，原來(lái)的數(shù)值都不改變。③代數(shù)式中省去的“×”號(hào)或“？”號(hào)代入具體數(shù)后應(yīng)恢復(fù)原來(lái)的“×”號(hào)，遇到字母取值是分?jǐn)?shù)或者負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況添上括號(hào)。④代入時(shí)，一定要書(shū)寫(xiě)規(guī)范，如當(dāng)α=-3時(shí)，α2=（-3）2，而不是α2=-32，（2/3）2不等于22/3等，只有書(shū)寫(xiě)規(guī)范，才能反映出代數(shù)式所隱含的運(yùn)算順序。

2.5取特殊值代入求值

例6.已知-1

A.a+b B.a-b C.a+b2 D.a2+b

分析：取b=-1/2，a=1/2，分別代入四個(gè)選擇再計(jì)算得：A的值為0；B的值1；C的值為3/4；D的值為3/4。

解：選B。

例7.設(shè)（1+x）2（1-x）=a+bx+cx2+dx3，則a+b+c+d=？

分析：a+b+c+d恰好是a+bx+cx2+dx3當(dāng)x=1時(shí)的值。故取x=1分別代入等式（1+x）2（1-x）=a+bx+cx2+dx3左邊是0，右邊是a+b+c+d，所以a+b+c+d=0。

解：填0。

評(píng)注：在選擇題與填空題中，由于不用計(jì)算過(guò)程，也可以用特殊值法來(lái)計(jì)算，即選取符合條件的字母的值，直接代入代數(shù)式得出答案。

3結(jié)束語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)中，經(jīng)常會(huì)用到代入法這種解題方法。而在一些數(shù)學(xué)解題方法中，除了代入消元法之外，還包括“微元法”、圖像解題法，利用幾何圖形或是函數(shù)方法來(lái)解答和計(jì)算題目。直接代入法、特殊值代入法以及整體代入法都是行之有效的解題方法，可以為學(xué)生解題帶來(lái)極大的便利。

參考文獻(xiàn)：

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