高考數學題中永不消逝的“離心率”

楊躍山

每年高考數學題中總是離不開圓錐曲線的“離心率”問題，為什么會如此呢？其一，離心率是圓錐曲線的重要幾何特征；其二，圓錐曲線的離心率與其他基本量聯系密切，容易產生知識交匯；其三，離心率與非解析幾何知識相融合可以檢測學生的綜合分析能力。

1離心率與平面幾何

橢圓與雙曲線與平面幾何中的三角形，四邊形，圓等相融合，會形成許多涉及離心率的問題。

例1.已知橢圓的兩個焦點分別為F1，F2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的另兩條邊，則橢圓的離心率為______。

解析：設橢圓與正三角形的另兩條邊交于A，B，則AF2=[3]c，AF1=c，于是[3]c+c=2a，e=[23+1]=[3]-1

變式1.已知橢圓的兩個焦點分別為F1，F2，以F1F2為一條對角線作正方形，若橢圓恰好平分正方形的四條邊，則橢圓的離心率為______。

解析：設橢圓與正方形的上兩條邊交于A，B，則AF2=[（22）2+（2）2]，c=[102]c，AF1=[22]c，于是[102]c+[22]c=2a，e=[410+2]=[10-22]

變式2.設雙曲線的兩個焦點為F1，F2，以F1F2為邊作正三角形MF1F2，若MF1中點在雙曲線上，那么此雙曲線的離心率為（ ）

A.[2] B.[3] C.1+[3] D.[3+12]

解析：|F1F2|=2c，|MF1|=c，|MF2|=[3]c，[3]c-c=2a，e=1+[3]，選擇C

2離心率與圖形挖掘

解析幾何中的問題是運用代數方法研究幾何圖形的性質，因此充分挖掘幾何圖形的幾何性質是解決解析幾何問題的金鑰匙，離心率是一個重要的幾何性質，所以會與幾何圖形性質有著千絲萬縷的聯系

3離心率與向量運算

向量融入解析幾何問題之中，一直是高考數學解析幾何問題的一個熱點，為了探索離心率大小，需要運用向量運算建立a，b，c關系，從而達到目的。

例5.點P（-1，-3）在雙曲線[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>0）的左準線x=[-a2c]上，過點P且方向為[a]=（-2，5）的光線經直線y=2反射后通過雙曲線的左焦點，則這個雙曲線的離心率為（ ）。

A.[3] B.[2] C.2 D.[195]

解析：設Q（x0，2），F1（-c，0）

則由PQ∥[a]得[5x0+1=-52]，解得x0=-3

又kPQ+[KQF1]=0，[2C+X0+5X0+1=0]，c=[195]

而-[a2C]=-1，選擇D

反思：圓錐曲線的離心率是高考中常考的一個知識點，年年高考年年有，變幻無窮新視角，今年江蘇高考題將平面解析幾何的基礎問題——斜率、平行、離心率與向量有機結合，并與物理的光學知識結合，形成一個體現綜合能力的基礎題，我們要挖掘平行條件、反射條件以及準線知識才能確定離心率的大小，其中平面向量充當一個“舞手”將圓錐曲線描繪的五彩繽紛.在平面解析幾何中，涉及線段長度，線與線的夾角，以及線與線的位置關系，而這些關系都可以用向量加以描述，因此向量與解析幾何的融合呈現出一個命題特點。

4離心率的實際應用

例8.（2008湖北）如圖所示，“嫦娥一號”探月衛星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：

①a1+c1=a2+c2 ②a1-c1=a2-c2 ③a2c1>a1c2 ④a2c1

其中正確式子的序號是（ ）

A.①③ B.②③ C.①④ D.②④

解析：a1-c1=a2-c2，②正確；a1+c2=a2+c1，兩邊平方后可得a12+2a1c2+c22=a22+2a2c1+c12，a12-c12+2a1c2=2a2c1+a22-c22，b12+2a1c2=2a2c1+b22，b1>b2，∴2a1c2<2a2c1，③正確，選擇B

變式：簡化的奧運會主體育場的“鳥巢”鋼結構俯視圖如圖，內外二圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓，外層橢圓[x2（ma）2+y2（mb）2=1]（a>b>0，m>1）頂點A（ma，0），B（0，mb），向內層橢圓[x2a2+y2b2=1]引切線AC，BD，若切線AC與BD的斜率之積為[-916]，求橢圓的離心率。

解析：設切線AC方程為y=k1（x-ma），切線BD方程為y-mb=k2x，于是由

[（bx）2+（ay）2=（ab）2y=k1（x-ma）]，

消去y得，[b2+a2k12x2-2ma3k12x+m2a4k12-ab2=0]

[?=（-2ma3k12）2-4b2+a2k12m2a4k12-ab2=0]

[∴k12=b2a21m2-1]

同理可得

[（bx）2+（ay）2=（ab）2y=k2x+mb]，

消去y得，[b2+a2k22x2+2mba2k2x+m2a2b2-ab2=0]

[?=（2mba2k2）2-4b2+a2k22m2a2b2-ab2=0]

[∴k22=b2a2（m2-1）]

[∴-916=-b2a2，b2a2=916，e2=1-916=716，e=74]

5總結

離心率是解析幾何高考的核心，也是解題的重要手段。巧用圓錐曲線的第二定義解決問題往往更能明快、簡捷。需注意的是利用圓錐曲線第二定義解題的關鍵是：題目中有動點到定點、定直線距離關系的條件或動點到兩個定點距離間的關系的條件，聯系實際問題，不能盲目使用。