對(duì)一道帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題的討論

趙相爭(zhēng)

(滄州市第二中學(xué) 河北 滄州 061001)

對(duì)一道帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題的討論

趙相爭(zhēng)

(滄州市第二中學(xué) 河北 滄州 061001)

一道高中《物理·選修3-1》第三章中帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，運(yùn)用到了圓形磁場(chǎng)的結(jié)論，即從一點(diǎn)進(jìn)入圓形磁場(chǎng)的所有粒子如果軌跡半徑都等于磁場(chǎng)的半徑，則這些粒子經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后都平行穿出，且都垂直于過(guò)入射點(diǎn)的直徑，而這些粒子又分為兩部分，偏轉(zhuǎn)一側(cè)90°范圍內(nèi)的粒子僅需一“梭形”區(qū)域即可穿出，而另一側(cè)90°范圍內(nèi)的粒子，則需要整個(gè)圓形磁場(chǎng)“剪去”那個(gè)“梭形”區(qū)域剩余部分的磁場(chǎng)．可能出題人都僅注意到了這一結(jié)論，忽視了此過(guò)程具有可逆性，故給出的答案有些值得討論的地方，其實(shí)利用可逆性，只需3個(gè)“梭形”磁場(chǎng)便可解決，也完全符合題目要求．

半徑相同 偏轉(zhuǎn) 垂直 面積最小

有一道很常見(jiàn)的涉及圓形磁場(chǎng)的問(wèn)題，好多參考書(shū)上(及網(wǎng)上)給出的答案都是一樣的，而筆者認(rèn)為這種答案是有問(wèn)題的，現(xiàn)與廣大物理同仁討論一下．原題如下.

如圖1所示，質(zhì)量為m，電荷量為e的電子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第一象限內(nèi)，射入時(shí)的速度方向不同，但大小均為v0．現(xiàn)在某一區(qū)域內(nèi)加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，若這些電子穿過(guò)磁場(chǎng)后都能垂直地射到與y軸平行的熒光屏MN上，求：

(1)熒光屏上光斑的長(zhǎng)度;

(2)所加磁場(chǎng)范圍的最小面積．

圖1 原題題圖

筆者搜索了大量資料，包括參考書(shū)及網(wǎng)上搜索，此題給出的答案都是一樣的，現(xiàn)抄錄如下.

解析:(1)如圖2所示，要求光斑的長(zhǎng)度，只要找到兩個(gè)邊界點(diǎn)即可．初速度沿x軸正方向的電子沿弧OA運(yùn)動(dòng)到熒光屏MN上的P點(diǎn)；初速度沿y軸正方向的電子沿弧OC運(yùn)動(dòng)到熒光屏MN上的Q點(diǎn)．

圖2 解析用圖

設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由牛頓第二定律得

即

由幾何知識(shí)可得

(2)取與x軸正方向成θ角的方向射入的電子為研究對(duì)象，其射出磁場(chǎng)的點(diǎn)為E(x，y)，因其射出后能垂直打到屏MN上，故有

x=-Rsinθ

y=R+Rcosθ

即

x2+(y-R)2=R2

又因?yàn)殡娮友豿軸正方向射入時(shí)，射出的邊界點(diǎn)為A點(diǎn)；沿y軸正方向射入時(shí)，射出的邊界點(diǎn)為C點(diǎn)，故所加最小面積的磁場(chǎng)的邊界是以(0，R)為圓心、R為半徑的圓的一部分，如圖2中實(shí)線圓弧所圍區(qū)域，所以磁場(chǎng)范圍的最小面積為

筆者經(jīng)過(guò)分析后，發(fā)現(xiàn)此題第(2)問(wèn)的答案有錯(cuò)誤，可能是做題人(或出題人)只分析了一個(gè)圓形磁場(chǎng)兩部分的作用，只想一次性偏轉(zhuǎn)過(guò)去．對(duì)好多認(rèn)識(shí)這種規(guī)律的人來(lái)說(shuō)可能還感到挺到位、挺深刻．其實(shí)按題目要求，此題的正確答案所求出的磁場(chǎng)面積還要小一些．

按題目所給條件和要求，第一，MN屏的長(zhǎng)度沒(méi)有限制；第二，要求磁場(chǎng)面積最小．那我們先做一雙向運(yùn)動(dòng)分析：

(1)如果粒子從同一點(diǎn)射入磁場(chǎng)，軌跡半徑等于磁場(chǎng)半徑時(shí)，夾角90°范圍內(nèi)的粒子偏轉(zhuǎn)出去僅需一“梭形”區(qū)域，如圖3中左側(cè)部分，從原點(diǎn)射入第一象限的所有粒子，都從實(shí)線所示的區(qū)域中穿出，且都平行，并直于過(guò)入射點(diǎn)的直線(x軸)．

圖3 第一象限內(nèi)的兩個(gè)“棱形”磁場(chǎng)的分析

(2)同理平行進(jìn)入圓形磁場(chǎng)的粒子，當(dāng)軌跡半徑等于磁場(chǎng)半徑時(shí)，寬度為半徑的所有粒子也僅需一同樣的“梭形”區(qū)域就可射向一點(diǎn)，并在90°夾角范圍內(nèi)穿出，如圖3中右側(cè)部分.

以上的原理可用“菱形”方法證明， 高中物理教師對(duì)這一結(jié)論都很熟悉，在這里就不再贅述．

那我們利用以上兩條規(guī)律，可結(jié)合一下，來(lái)一個(gè)“發(fā)散”→“平行”→“發(fā)散”→“平行”的過(guò)程，完全可達(dá)到題目中垂直打在MN屏上的要求，如圖4所示，從原點(diǎn)O處進(jìn)入第一象限的粒子經(jīng)“梭形”磁場(chǎng)1偏轉(zhuǎn)后變平行，再被“梭形”磁場(chǎng)2偏轉(zhuǎn)，匯聚到P點(diǎn)，再由P點(diǎn)進(jìn)入“梭形”磁場(chǎng)3，被磁場(chǎng)3偏轉(zhuǎn)后平行穿出恰好垂直打在MN屏上．

圖4 3個(gè)“棱形”磁場(chǎng)的分析

這3個(gè)“梭形”磁場(chǎng)的總面積為

筆者認(rèn)為此解法并不違備題目中垂直打在MN屏上的要求，只是位置偏上了一些，但題目中并未限定MN屏的高度，故完全符合題目要求，所以最小磁場(chǎng)的面積應(yīng)為

2016-12-15)