對一道帶電粒子在磁場中運動的問題的討論

趙相爭

(滄州市第二中學 河北 滄州 061001)

對一道帶電粒子在磁場中運動的問題的討論

趙相爭

(滄州市第二中學 河北 滄州 061001)

一道高中《物理·選修3-1》第三章中帶電粒子在磁場中運動的問題，運用到了圓形磁場的結論，即從一點進入圓形磁場的所有粒子如果軌跡半徑都等于磁場的半徑，則這些粒子經磁場偏轉后都平行穿出，且都垂直于過入射點的直徑，而這些粒子又分為兩部分，偏轉一側90°范圍內的粒子僅需一“梭形”區域即可穿出，而另一側90°范圍內的粒子，則需要整個圓形磁場“剪去”那個“梭形”區域剩余部分的磁場．可能出題人都僅注意到了這一結論，忽視了此過程具有可逆性，故給出的答案有些值得討論的地方，其實利用可逆性，只需3個“梭形”磁場便可解決，也完全符合題目要求．

半徑相同 偏轉 垂直 面積最小

有一道很常見的涉及圓形磁場的問題，好多參考書上(及網上)給出的答案都是一樣的，而筆者認為這種答案是有問題的，現與廣大物理同仁討論一下．原題如下.

如圖1所示，質量為m，電荷量為e的電子從坐標原點O處沿xOy平面射入第一象限內，射入時的速度方向不同，但大小均為v0．現在某一區域內加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強磁場，磁感應強度大小為B，若這些電子穿過磁場后都能垂直地射到與y軸平行的熒光屏MN上，求：

(1)熒光屏上光斑的長度;

(2)所加磁場范圍的最小面積．

圖1 原題題圖

筆者搜索了大量資料，包括參考書及網上搜索，此題給出的答案都是一樣的，現抄錄如下.

解析:(1)如圖2所示，要求光斑的長度，只要找到兩個邊界點即可．初速度沿x軸正方向的電子沿弧OA運動到熒光屏MN上的P點；初速度沿y軸正方向的電子沿弧OC運動到熒光屏MN上的Q點．

圖2 解析用圖

設粒子在磁場中運動的半徑為R，由牛頓第二定律得

即

由幾何知識可得

(2)取與x軸正方向成θ角的方向射入的電子為研究對象，其射出磁場的點為E(x，y)，因其射出后能垂直打到屏MN上，故有

x=-Rsinθ

y=R+Rcosθ

即

x2+(y-R)2=R2

又因為電子沿x軸正方向射入時，射出的邊界點為A點；沿y軸正方向射入時，射出的邊界點為C點，故所加最小面積的磁場的邊界是以(0，R)為圓心、R為半徑的圓的一部分，如圖2中實線圓弧所圍區域，所以磁場范圍的最小面積為

筆者經過分析后，發現此題第(2)問的答案有錯誤，可能是做題人(或出題人)只分析了一個圓形磁場兩部分的作用，只想一次性偏轉過去．對好多認識這種規律的人來說可能還感到挺到位、挺深刻．其實按題目要求，此題的正確答案所求出的磁場面積還要小一些．

按題目所給條件和要求，第一，MN屏的長度沒有限制；第二，要求磁場面積最小．那我們先做一雙向運動分析：

(1)如果粒子從同一點射入磁場，軌跡半徑等于磁場半徑時，夾角90°范圍內的粒子偏轉出去僅需一“梭形”區域，如圖3中左側部分，從原點射入第一象限的所有粒子，都從實線所示的區域中穿出，且都平行，并直于過入射點的直線(x軸)．

圖3 第一象限內的兩個“棱形”磁場的分析

(2)同理平行進入圓形磁場的粒子，當軌跡半徑等于磁場半徑時，寬度為半徑的所有粒子也僅需一同樣的“梭形”區域就可射向一點，并在90°夾角范圍內穿出，如圖3中右側部分.

以上的原理可用“菱形”方法證明， 高中物理教師對這一結論都很熟悉，在這里就不再贅述．

那我們利用以上兩條規律，可結合一下，來一個“發散”→“平行”→“發散”→“平行”的過程，完全可達到題目中垂直打在MN屏上的要求，如圖4所示，從原點O處進入第一象限的粒子經“梭形”磁場1偏轉后變平行，再被“梭形”磁場2偏轉，匯聚到P點，再由P點進入“梭形”磁場3，被磁場3偏轉后平行穿出恰好垂直打在MN屏上．

圖4 3個“棱形”磁場的分析

這3個“梭形”磁場的總面積為

筆者認為此解法并不違備題目中垂直打在MN屏上的要求，只是位置偏上了一些，但題目中并未限定MN屏的高度，故完全符合題目要求，所以最小磁場的面積應為

2016-12-15)