內壁粗糙碗中的動力學問題深度探究(一)

倪 峰

(德清縣高級中學 浙江 湖州 313200)

內壁粗糙碗中的動力學問題深度探究(一)

倪 峰

(德清縣高級中學 浙江 湖州 313200)

筆者針對物體在粗糙碗類豎直軌道中的動力學問題進行了深入探究，推導出物體逆時針運動的角速度ω與轉過的角度θ關系．本探究可拓寬讀者的視野，提高優秀學生對物理的學習興趣，發揚探索精神，體會數學與物理結合的美妙．

內壁粗糙的碗 動力學 二階常微分方程

具體模型如圖1所示，物體(可看成質點的物體)在內壁粗糙的碗中從A點向下逆時針下滑，碗可以看成半徑為r的半球面.物體與粗糙內壁的動摩擦因數為μ0．從A點下滑到第一次速度為零位置的整個過程，物體受到3個力的作用，分別是重力mg，摩擦力Ff，支持力FN．除重力外，其他兩個力都是變力．那如何求得物體在軌道各個位置對應的角

速度和速度呢？

圖1 物體在內壁粗糙的碗中下滑

圖8 反導攔截彈的軌跡

經多次嘗試，由Excel數據計算得，在導彈發射經過t=479.7 s時，發射攔截彈，在t=926.7 s時攔截成功．此時位置坐標(-1 090 711 m，7 219 482 m)，

這里有誤差在，只要Δt取得足夠小，誤差就會非常小，但數據量會很大．

圖9 導彈被攔截的坐標及時間

這里提供的是在中學物理中借助Excel研究中段反導的思路，以此為引導開展研究性學習，拓展學生視野，激發學生學習興趣，為祖國的國防做出貢獻．

1 卡門線.百度百科.

2 洲際彈道導彈.百度百科.

3 課程研發中心，普通高中課程標準實驗教科書(物理2 必修).北京：人民教育出版社，2010.39～45

4 何勇，關鈞睿.利用計算機手段高效處理物理問題.物理通報，2014(9)：97～98

1 小球在粗糙內壁逆時針下滑的角速度ω與角度θ的關系

令物體逆時針運動的角速度ω為正方向，即逆時針ω>0．角速度

(1)

切向加速度

(2)

根據牛頓第二定律，切向方向動力學方程為

(3)

徑向方向動力學方程為

(4)

Ff=μFN

(5)

由式(1)～(5)得

化簡得物體下滑的運動微分方程為

(6)

式(6)為關于θ的二階非線性常微分方程，比較復雜．可通過降階解法，將式(6)變為一階．

令

則

由于逆時針運動ω>0，故

則

化簡式(6)得

整理得

(7)

式(7)是關于θ的一階線性非齊次微分方程，至此完成式(6)的降階工作．

(8)

令

代入式(8)的通解，可解得式(7)得通解為

(9)

根據方程

(10)

和

(11)

3μcosθ]+Ce-2μθ

(12)

由

得

(13)

當θ=0時

ω=0

解得

(14)

(15)

式(15)是角速度ω關于θ的解析解．可見只要知道碗軌道的半徑r和物體與碗的動摩擦因數μ，就可以根據式(15)，得到物體在粗糙碗中從A點下滑做逆時針圓周運動到第一次速度為零這個過程，軌道上各個位置所對應的角速度．

圖2是利用Excel作出ω～θ的關系圖．

圖2 角速度ω與角度θ的關系圖

2 關于在粗糙碗中做勻速圓周運動一類題目的商榷

在高中題目中，有一類關于物體只受重力，支持

力和摩擦力的情況下，在粗糙碗類內壁豎直軌道上做勻速圓周運動的題目，即ω的大小不變．從式(15)

這個方程可知，不管μ值取多少，ω的大小都不可能為一個常數．類似粗糙碗類豎直軌道的勻速圓周運動，現實中并不存在，沒有考慮到此模型的可行性，各物理量會出現不自洽，導致題目脫離了實際情況．

3 反思與展望

本文給出了ω～θ的解析解．但是解二階非線性常微分方程，僅靠筆算，計算量非常龐大，有時甚至沒有解析解．如果利用數學軟件如MATLAB或Mathematica，通過編程，解出二階非線性常微分方程的數值解，畫出圖像，往往事半功倍．當然，數值解法比較適合在求不出解析解的情況下使用．下階段，筆者還會在本文基礎上，再研究此模型其他物理量之間的關系．

參 考 文 獻

1 程守洙，江之永．普通物理學2(第五版)．北京：高等教育出版社，2003.25～28

2 馬文蔚．物理學(第三版)．北京：高等教育出版社，1994.5～20

The In-depth Dynamic Research in Rough Bowl Wall(I)

Ni Feng

(Deqing Senior high school,Huzhou,Zhejiang 313200)

A body going around a circle in a vertical loop track which is a classical physical model in senior high school.But,due to the limitations of high school mathematics knowledge,the physical model is often designed in an ideal situation.At present,the dynamic research is very rare in a vertical loop track of rough bowl wall at non ideal circumstances[1][2].So,this paper researches the dynamics in a vertical loop track of rough bowl wall.This paper deduces the relationships between angular velocity ω and angle of turn θ.This research can broaden reader's horizon,improve the outstanding students' interest in physics learning,develop exploring spirit and realize the beauty of mathematics and physics combination.

rough bowl wall;dynamic;the second order ordinary differential equation

2016-08-29)