求小振動周期應注意的一個近似處理

朱遠稼 李 力

(重慶市清華中學 重慶 400054)

求小振動周期應注意的一個近似處理

朱遠稼 李 力

(重慶市清華中學 重慶 400054)

計算力學體系小振動的周期，是物理競賽中常見的問題.文獻[1，2] 分別用動力學法和能量法討論如下“可動懸點擺”的周期：如圖1所示，質量為m的小環套在固定水平光滑桿上，小環又通過長為l的輕繩與質量為M的小球連接，證明此體系在小角度下的運動是諧運動，并求其周期.

圖1

更簡捷、更程序化的推導方法是用分析力學的拉格朗日方程[3]求解：設廣義坐標為m沿水平桿運動的坐標x和M擺動的角度θ，則

xM=x+lsinθ

yM=lcosθ

求得體系的動能為

以水平桿為勢能零平面，則體系勢能為

V=-Mglcosθ

所以體系的拉格朗日函數為

L=T-V=

代入拉格朗日方程

整理得

(1)

(2)

在小角度條件下簡化微分方程的這個近似處理用得很多，例如文獻[6]研究的競賽題.

如圖2所示，一個質量為M的槽放在水平光滑地面上，一個質量為m，擺長為l的擺球放在槽內帶動槽在水平面內小角度振動，球直徑恰等于槽左右壁距離，且擺球在最低點時也不和槽底接觸，槽內壁光滑，求這個系統的振動周期.

圖2 競賽題題圖

文獻[6]用了4種方法，下面我們另用拉格朗日方程求解：設廣義坐標為θ，則

體系動能

勢能

V=-mglcosθ

拉氏函數

代入拉氏方程

整理后有

微分方程可簡化為

解得

同文獻[6]的結果是一致的.

從上述兩個題目的研究可以發現，小角度條件下簡化微分方程的這個近似處理很重要，同時也看到分析力學處理問題的優越性——簡捷而程序化.當然，分析力學最重要的地方不在于此，而是對經典物理和近代物理提供統一的表達形式，它是通向量子力學、統計力學、量子場論等領域的必經之路.

1 韓娟,鄭修林,李春梅.探討無固定懸掛點單擺的周期.物理通報,2009(4):2～5

2 李力.用能量法簡捷推導可動懸點單擺的諧運動周期.物理通報,2012(9):129

3 梁昆淼，原著,鞠國興,施毅，修訂.力學(下冊)理論力學(第4版).北京:高等教育出版社,2012.61～65

4 熊志權.物理原來不能這樣考.成都:西南交通大學出版社,2012.51～52

5 《數學手冊》編寫組.數學手冊.北京:人民教育出版社,1981.226

6 柯堯.賞析一道求振動周期的競賽題的多種解法.物理教師,2016(10):92～93

2017-01-08)