分析山體理論高度建議運用錐形建模*
——兼談第33屆全國中學生物理競賽預賽卷第12題

張懷華

(焦作市第十一中學 河南 焦作 454000)

分析山體理論高度建議運用錐形建模*
——兼談第33屆全國中學生物理競賽預賽卷第12題

張懷華

(焦作市第十一中學 河南 焦作 454000)

通過對第33屆全國中學生物理競賽預賽試卷第12題及其參考答案的分析，指出了對山體柱形建模的瑕疵，通過對山體進行錐形建模，發現山體的極限高度為柱形建模下山體極限高度的3倍．

熔化熱 極限高度 山體 星體

自2016年9月3日第33屆全國中學生物理競賽預賽結束以來，很多師生對試卷第12題展開了激烈的爭論，大家對試題中提供的山體的柱形建模方式表示質疑，筆者對山體以師生普遍認可的錐形進行建模，得出了新的結論．下面就從對山體錐形建模的角度，談一談對山體極限高度的分析與求解．

1 試題回放與參考解析

【題目】固體星球可近似看作半徑為R(足夠大)的球形均勻的固體，構成星球的物質的密度為ρ，引力常量為G．考慮星球表面山體的高度，如果山高超出某一限度，山基便會發生流動(可以認為是山基部分物質熔化的結果，相當于超出山的最高限度的那塊物質從山頂移走了)，從而使山的高度減低．山在這種情況下，其高度的小幅降低可視為小塊質量的物質從山頂移到山底．假設小塊物質重力勢能的減少與其完全熔化所需要的能量相當，山體由同種物質構成，該物質的熔化熱為L，不考慮溫度升到熔點所需的能量，也不考慮壓強對固體熔化熱的影響，試估算在此條件下由同一種物質構成的山體高度的上限．

參考答案：由于星體是均勻的球體，且山體的高度遠小于球體的半徑，按照題設模型有

mgHmax=mL

(1)

式中Hmax是山體高度的上限，m是會熔化掉的那一小塊物質的質量．

在星球表面，由引力產生的加速度為

(2)

式中M是星體的質量．

根據本題對星體的球形假設，有

(3)

由以上式(1)、(2)和(3)可得，半徑為R的星體上的山體的高度的上限為

(4)

故該星球上的山體的高度應該滿足

(5)

2 錐形建模條件下山體極限高度的分析與求解

上述分析看似合理，但是筆者不能茍同．在本試題的命制中，山體是按照柱形建模的，這與實際中的山體不相符，因為從宏觀角度看，絕大多數山體都是錐形的．

如圖1所示，如果將山體抽象為高度為H，底面積為S的錐形，則山體的整體質量m1為

(6)

圖1 山體的錐形架構

山基被熔化的那部分物質的質量m2為

m2=ΔHSρ

(7)

若山體整體下降ΔH時重力勢能的減少恰好等于山腳下厚度為ΔH的山基物質熔化所需要的能量，則有

m2L=m1gΔH

(8)

由式(2)、(3)、(6)、(7)和(8)可得，半徑為R的星體上的山體的高度的上限為

(9)

故該星球上的山體的高度應該滿足

(10)

比較(5)、(10)兩式，可以發現：錐形山體模型的極限高度是柱形山體模型極限高度的3倍．

3 結束語

由于山體的宏觀外形都是錐形的，以錐形對山體建模，是符合實際的．鑒于科學性是命制試題的首要標準，筆者借助貴刊建議命題人，在命制新型試題時，一定要盡可能從實際出發，多方論證，盡量讓物理建模與實際情況相吻合．

*2016年河南省基礎教育教學重點研究項目“基于核心素養的高中物理教學目標的構建及實施研究”，項目編號：JCJYB16060032，本文為該項目的研究成果.

2017-01-13)