轉(zhuǎn)動(dòng)木板上木塊的靜摩擦力

陳擁華

(浙江省菱湖中學(xué) 浙江 湖州 313018)

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 313000)

轉(zhuǎn)動(dòng)木板上木塊的靜摩擦力

陳擁華

(浙江省菱湖中學(xué) 浙江 湖州 313018)

邱為鋼

(湖州師范學(xué)院理學(xué)院 浙江 湖州 313000)

由三維轉(zhuǎn)動(dòng)的矩陣表示，得到連續(xù)兩次轉(zhuǎn)動(dòng)后多邊形板傾斜角的余弦值. 對(duì)于邊緣上一端固定后滾動(dòng)的傾斜圓形木板，得到了傾斜角與轉(zhuǎn)動(dòng)角的解析關(guān)系；進(jìn)而給出了兩種木板上小木塊靜摩擦力的解析表達(dá)式．

轉(zhuǎn)動(dòng) 木板 摩擦力

2003年北京市海淀區(qū)第一次高考物理模擬考試中，出現(xiàn)了這樣一道考查轉(zhuǎn)動(dòng)傾斜木板上物體摩擦力的選擇題，一個(gè)正方形木板轉(zhuǎn)動(dòng)兩次后小木塊保持靜止，求小木塊所受靜摩擦力大小. 由于題目有歧義，引起不少讀者的爭(zhēng)論[1～7]. 這些文章分成兩派，一派認(rèn)為，木板ABCD在兩次旋轉(zhuǎn)之后AB和AD與桌面所成的夾角均為θ;另一派認(rèn)為分別以AD和AB邊為軸將平面ABCD旋轉(zhuǎn)θ角. 這個(gè)題目物理很清晰，難在數(shù)學(xué)處理上，即怎么計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)兩次后木板的傾斜角. 按照第一派的理論，木板的傾角很容易求出，得到模擬題給出的參考答案. 按照第二派的理論，木板的傾角很不容易求出，要用到繁瑣的立體幾何知識(shí). 我們認(rèn)為，按照真實(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)過程，也按照物理學(xué)經(jīng)典教材上的處理方法，木板轉(zhuǎn)動(dòng)是第二種操作方法. 這種轉(zhuǎn)動(dòng)不僅有明確的數(shù)學(xué)表達(dá)式(三維矩陣)，也能很容易推廣到任意形狀的多邊形木板轉(zhuǎn)動(dòng)模型上，也不需要畫圖.

先簡(jiǎn)要介紹三維空間的矢量和轉(zhuǎn)動(dòng). 一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)，使得一個(gè)矢量變成另一個(gè)矢量. 矢量可以表示為三乘一的矩陣，轉(zhuǎn)動(dòng)可以表示為三乘三的矩陣. 轉(zhuǎn)動(dòng)操作就是三乘三的矩陣點(diǎn)乘在三乘一的矩陣上，得到一個(gè)新的三乘一的矩陣. 一個(gè)平面用它的法向量表示，經(jīng)過多次轉(zhuǎn)動(dòng)后，新的平面法向量與垂直地面方向夾角就是這個(gè)平面與地面夾角. 設(shè)R(n,φ)表示繞n(單位矢量)方向轉(zhuǎn)動(dòng)φ角度的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣，由文獻(xiàn)[8],具體形式為

為簡(jiǎn)單起見，我們只考慮多邊形板相鄰邊的連續(xù)兩次轉(zhuǎn)動(dòng). 設(shè)多邊形木板起始時(shí)刻在地面上，相鄰兩邊的單位矢量分別為p和q，木板的法向量是l. 第一次沿p轉(zhuǎn)動(dòng)α角度，第二次沿轉(zhuǎn)動(dòng)后的q方向轉(zhuǎn)動(dòng)-β角度. 第一次轉(zhuǎn)動(dòng)后，木板的法向量變?yōu)镽(p,α)l，q方向變?yōu)镽(p,α)q. 第二次轉(zhuǎn)動(dòng)后，木板的法向量變?yōu)镽(R(p,α)q,-β)·R(p,α)l. 設(shè)這時(shí)木板與地面的傾角是θ，那么由矢量點(diǎn)乘意義，傾角的余弦是兩個(gè)法向量的點(diǎn)乘，即

cosθ=l·R(R(p,α)q,-β)·R(p,α)·l

如果此時(shí)木塊還是保持靜止不動(dòng)，這時(shí)木塊受到的靜摩擦力就是mgsinθ. 以上計(jì)算用手算可能很麻煩，但現(xiàn)在數(shù)學(xué)軟件很容易編程計(jì)算得到結(jié)果. 如果多邊形兩邊夾角是γ，計(jì)算得到轉(zhuǎn)動(dòng)兩次后的木板傾角余弦值是

cosθ=cosαcosβ+cosγsinαsinβ

由此得到木塊受到的摩擦力是

如果兩邊交角等于90°，上式就回到文獻(xiàn)[2]的結(jié)果. 如果兩次轉(zhuǎn)動(dòng)角度相等α=β，那么上式轉(zhuǎn)化為

f=mgsinα·

這推廣了文獻(xiàn)[2]的結(jié)果.

如果多邊形的邊長(zhǎng)數(shù)目趨向無窮，這個(gè)極限一般是圓盤．一個(gè)直接的推廣就是轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤上木塊的靜摩擦力．考慮這樣的模型，如圖1所示．其中O是圓心，B是圓周上一端，BA是垂直地面的桿，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，保持B點(diǎn)固定不變．起始時(shí)刻，BC和BO的夾角為零．

圖1 多邊形的邊數(shù)趨向無窮極限為圓盤的模型

由此解得

于是圓盤斜面的正弦值為

如果轉(zhuǎn)動(dòng)后圓盤上的小木塊保持靜止，那么小木塊受到的靜摩擦力為

由此可見，三維轉(zhuǎn)動(dòng)后傾斜木板與地面夾角的計(jì)算，依據(jù)木板形狀和轉(zhuǎn)動(dòng)操作，可以分別用中學(xué)的立體幾何知識(shí)和大學(xué)的三維轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣知識(shí)，來求解傾斜角的余弦(正弦)值，進(jìn)而求得小木塊的靜摩擦力．

1 李俊.這道小題不可小看.物理教學(xué)探討，2004,22(17)：57～58

2 黃照欣．這道小題確實(shí)不可小看.物理教學(xué)探討，2005,23(1)：35～36

3 于正榮．對(duì)一道力學(xué)題及其改變題的解法的討論.物理教師，2005, 26(8):35～36

4 戴小民．對(duì)一道誤解習(xí)題的探討.物理教學(xué)探討，2006，24(265)：35～37

5 張永勝.剖析錯(cuò)解的靜李擦刀典裂題.中學(xué)物理，2008，26(9):46～47

6 蘇建東,冷永飛.對(duì)靜摩擦力典型題中錯(cuò)誤的糾正.中學(xué)物理，2009，27(11):38～40

7 李冬冬，吳樵夫.一道靜摩擦力問題的錯(cuò)解分析.物理教師，2013,34(12):89～90

8 邱為鋼,等．玩具中的物理：鑲嵌雪花片的滾動(dòng)軌跡.物理教師，2014，35(9)：70～71

The Static Friction on the Board of the Rotating Board

Chen Yonghua

(LinHu High School，Huzhou,Zhejiang 313018)

Qiu Weigang

(School of Science, HuZhou Teacher's College,Huzhou,Zhejiang 313000)

The cosine of incline angle of a polygon board under two successive rotation is derived from the three dimensional matrix representation of rotation. The analytical relationship between incline angle and rotation angle is given for the rotational disk with an edge point fixed. Then the static force of a wood on these two kind of board are given analytically.

rotation；board;friction

2017-02-02)