轉動木板上木塊的靜摩擦力

陳擁華

(浙江省菱湖中學 浙江 湖州 313018)

邱為鋼

(湖州師范學院理學院 浙江 湖州 313000)

轉動木板上木塊的靜摩擦力

陳擁華

(浙江省菱湖中學 浙江 湖州 313018)

邱為鋼

(湖州師范學院理學院 浙江 湖州 313000)

由三維轉動的矩陣表示，得到連續兩次轉動后多邊形板傾斜角的余弦值. 對于邊緣上一端固定后滾動的傾斜圓形木板，得到了傾斜角與轉動角的解析關系；進而給出了兩種木板上小木塊靜摩擦力的解析表達式．

轉動 木板 摩擦力

2003年北京市海淀區第一次高考物理模擬考試中，出現了這樣一道考查轉動傾斜木板上物體摩擦力的選擇題，一個正方形木板轉動兩次后小木塊保持靜止，求小木塊所受靜摩擦力大小. 由于題目有歧義，引起不少讀者的爭論[1～7]. 這些文章分成兩派，一派認為，木板ABCD在兩次旋轉之后AB和AD與桌面所成的夾角均為θ;另一派認為分別以AD和AB邊為軸將平面ABCD旋轉θ角. 這個題目物理很清晰，難在數學處理上，即怎么計算轉動兩次后木板的傾斜角. 按照第一派的理論，木板的傾角很容易求出，得到模擬題給出的參考答案. 按照第二派的理論，木板的傾角很不容易求出，要用到繁瑣的立體幾何知識. 我們認為，按照真實的轉動過程，也按照物理學經典教材上的處理方法，木板轉動是第二種操作方法. 這種轉動不僅有明確的數學表達式(三維矩陣)，也能很容易推廣到任意形狀的多邊形木板轉動模型上，也不需要畫圖.

先簡要介紹三維空間的矢量和轉動. 一個轉動，使得一個矢量變成另一個矢量. 矢量可以表示為三乘一的矩陣，轉動可以表示為三乘三的矩陣. 轉動操作就是三乘三的矩陣點乘在三乘一的矩陣上，得到一個新的三乘一的矩陣. 一個平面用它的法向量表示，經過多次轉動后，新的平面法向量與垂直地面方向夾角就是這個平面與地面夾角. 設R(n,φ)表示繞n(單位矢量)方向轉動φ角度的轉動矩陣，由文獻[8],具體形式為

為簡單起見，我們只考慮多邊形板相鄰邊的連續兩次轉動. 設多邊形木板起始時刻在地面上，相鄰兩邊的單位矢量分別為p和q，木板的法向量是l. 第一次沿p轉動α角度，第二次沿轉動后的q方向轉動-β角度. 第一次轉動后，木板的法向量變為R(p,α)l，q方向變為R(p,α)q. 第二次轉動后，木板的法向量變為R(R(p,α)q,-β)·R(p,α)l. 設這時木板與地面的傾角是θ，那么由矢量點乘意義，傾角的余弦是兩個法向量的點乘，即

cosθ=l·R(R(p,α)q,-β)·R(p,α)·l

如果此時木塊還是保持靜止不動，這時木塊受到的靜摩擦力就是mgsinθ. 以上計算用手算可能很麻煩，但現在數學軟件很容易編程計算得到結果. 如果多邊形兩邊夾角是γ，計算得到轉動兩次后的木板傾角余弦值是

cosθ=cosαcosβ+cosγsinαsinβ

由此得到木塊受到的摩擦力是

如果兩邊交角等于90°，上式就回到文獻[2]的結果. 如果兩次轉動角度相等α=β，那么上式轉化為

f=mgsinα·

這推廣了文獻[2]的結果.

如果多邊形的邊長數目趨向無窮，這個極限一般是圓盤．一個直接的推廣就是轉動圓盤上木塊的靜摩擦力．考慮這樣的模型，如圖1所示．其中O是圓心，B是圓周上一端，BA是垂直地面的桿，在轉動過程中，保持B點固定不變．起始時刻，BC和BO的夾角為零．

圖1 多邊形的邊數趨向無窮極限為圓盤的模型

由此解得

于是圓盤斜面的正弦值為

如果轉動后圓盤上的小木塊保持靜止，那么小木塊受到的靜摩擦力為

由此可見，三維轉動后傾斜木板與地面夾角的計算，依據木板形狀和轉動操作，可以分別用中學的立體幾何知識和大學的三維轉動矩陣知識，來求解傾斜角的余弦(正弦)值，進而求得小木塊的靜摩擦力．

1 李俊.這道小題不可小看.物理教學探討，2004,22(17)：57～58

2 黃照欣．這道小題確實不可小看.物理教學探討，2005,23(1)：35～36

3 于正榮．對一道力學題及其改變題的解法的討論.物理教師，2005, 26(8):35～36

4 戴小民．對一道誤解習題的探討.物理教學探討，2006，24(265)：35～37

5 張永勝.剖析錯解的靜李擦刀典裂題.中學物理，2008，26(9):46～47

6 蘇建東,冷永飛.對靜摩擦力典型題中錯誤的糾正.中學物理，2009，27(11):38～40

7 李冬冬，吳樵夫.一道靜摩擦力問題的錯解分析.物理教師，2013,34(12):89～90

8 邱為鋼,等．玩具中的物理：鑲嵌雪花片的滾動軌跡.物理教師，2014，35(9)：70～71

The Static Friction on the Board of the Rotating Board

Chen Yonghua

(LinHu High School，Huzhou,Zhejiang 313018)

Qiu Weigang

(School of Science, HuZhou Teacher's College,Huzhou,Zhejiang 313000)

The cosine of incline angle of a polygon board under two successive rotation is derived from the three dimensional matrix representation of rotation. The analytical relationship between incline angle and rotation angle is given for the rotational disk with an edge point fixed. Then the static force of a wood on these two kind of board are given analytically.

rotation；board;friction

2017-02-02)