探究均勻帶電直線和圓弧產生電場的關系

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

探究均勻帶電直線和圓弧產生電場的關系

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

利用微元法和對應性推證了均勻帶電直線與均勻帶電圓弧產生的電場等效；利用微元法和對稱性推導了均勻帶電圓弧在圓心的場強公式；利用結論巧妙解答有關線性帶電體的場強計算問題.

帶電直線 帶電圓弧 電荷線密度 場強

均勻帶電直線產生的電場與均勻帶電圓弧產生的電場在一定條件下是等效的，由此可將直線帶電體轉化為圓弧帶電體，利用這種等效法解答某些線性帶電體的場強問題，可化繁為簡.

1 均勻帶電線段產生的電場

【例1】如圖1所示，平面上有一段長度為l的均勻帶電直線AB，在該平面內取直角坐標系xOy，原點O為AB中點，AB沿x軸，

(1)試證明該平面上任一點P的電場方向沿∠APB的角平分線；

(2)試證明該平面上的電場線為一簇雙曲線；

(3)試求該平面上的等勢線方程.

圖1 例1題圖

圖2 局部放大圖

隨著P點位置不同，a可取一系列不同的值.

2 均勻帶電圓弧產生的電場

【例2】若正電荷Q均勻分布在半徑為R，圓心角為2α的圓弧上，則圓心處的場強為多大？

解析：以對稱軸為坐標軸建立如圖3所示的直角坐標系.

圖3 例2題圖

由對稱性可知，圓心處的場強沿x軸方向.取一小段圓弧Δs，則電荷量為

ΔQ=λΔs

所以各場強分量的疊加為合場強

由對稱性可知∑Δy=2Rsinα，因此，有

這是圓心角為2α的均勻帶電圓弧在圓心產生的場強公式.

在上述推導過程中綜合利用了微元法、疊加法、分解法和對稱性.

3 均勻帶電直線和圓弧產生電場的關系

【例3】如圖4所示，一直線AB均勻帶電，電荷線密度為λ，過其一端B做垂線，垂線上的P點到帶電直線的距離為R；以P點為圓心的弧線A′B與直線相切于B點，均勻帶電，電荷線密度也為λ，求證：均勻帶電直線AB在P點產生的場強與均勻帶電圓弧A′B在圓心產生的場強相等.

圖4 例3題圖

磁場方向沿P點對角線的平分線方向.

這表明，只要均勻帶電直線一端與均勻帶電圓弧一端相切重合，另一端位于同一半徑所在的直線上，即直線與圓弧對圓心的張角相等，那么任意畫一個圓心角所截取的兩部分帶電體在圓心產生電場的強度相同.所以從整體角度而言，均勻帶電直線AB在P點產生電場的強度與均勻帶電圓弧A′B在圓心產生電場的強度大小相等，方向相同.

回顧例1，圖2相當于圖4的一部分，如圖5所示，但其中直線的延長線與圓弧的延長線仍然相切與點D，這是結論成立的前提條件.另一方面，對于兩道例題的解答方法是相似的而且是統一的.

圖5 圖2與圖4對比圖

結論2：以直角三角形的一個銳角頂點為圓心，以所在直角邊為半徑在三角形內畫圓弧與另一直角邊相切于直角頂點，若圓弧與相切的直角邊均勻帶電且電荷線密度相同，則任意一個圓心角所截取的圓弧和線段分別在圓心產生電場的場強大小相等，方向相同.

由圖4可知，四分之一圓周對應一條射線，而半圓周對應一條無限長直線.

利用上述結論解答有關問題簡便快捷，下面舉例分析.

【例4】如圖6所示，長直線與圓弧相切，若直線和圓弧上的電荷均勻分布，電荷線密度為λ，圓弧半徑為R，求圓心處的場強.

圖6 例4題圖

圖7 圖6的等效圖

該題與第五屆全國中學生物理競賽預賽試題中的第8題相似.

圖8 例5題圖

圖9 分析場強矢量示意圖

總之，對于均勻帶電的直線和圓弧產生的電場在某種條件下是等效的，均勻帶電的直線可轉化為均勻帶電的圓弧，利用均勻帶電圓弧的場強公式和對稱性，對有關線性帶電體的場強問題可迎刃而解.

1 沈晨.靜電場：原理與方法.中學物理教學參考，2005(3)：19，56

2016-05-06)