探究均勻帶電直線和圓弧產(chǎn)生電場的關(guān)系

2017-09-11 12:49:32鄭金

物理通報(bào) 2017年7期

鄭金

(凌源市職教中心遼寧朝陽 122500)

鄭金

(凌源市職教中心遼寧朝陽 122500)

利用微元法和對應(yīng)性推證了均勻帶電直線與均勻帶電圓弧產(chǎn)生的電場等效；利用微元法和對稱性推導(dǎo)了均勻帶電圓弧在圓心的場強(qiáng)公式；利用結(jié)論巧妙解答有關(guān)線性帶電體的場強(qiáng)計(jì)算問題.

帶電直線帶電圓弧電荷線密度場強(qiáng)

均勻帶電直線產(chǎn)生的電場與均勻帶電圓弧產(chǎn)生的電場在一定條件下是等效的，由此可將直線帶電體轉(zhuǎn)化為圓弧帶電體，利用這種等效法解答某些線性帶電體的場強(qiáng)問題，可化繁為簡.

1 均勻帶電線段產(chǎn)生的電場

【例1】如圖1所示，平面上有一段長度為l的均勻帶電直線AB，在該平面內(nèi)取直角坐標(biāo)系xOy，原點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，AB沿x軸，

(1)試證明該平面上任一點(diǎn)P的電場方向沿∠APB的角平分線；

(2)試證明該平面上的電場線為一簇雙曲線；

(3)試求該平面上的等勢線方程.

圖1 例1題圖

圖2 局部放大圖

隨著P點(diǎn)位置不同，a可取一系列不同的值.

2 均勻帶電圓弧產(chǎn)生的電場

【例2】若正電荷Q均勻分布在半徑為R，圓心角為2α的圓弧上，則圓心處的場強(qiáng)為多大？

解析：以對稱軸為坐標(biāo)軸建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系.

圖3 例2題圖

由對稱性可知，圓心處的場強(qiáng)沿x軸方向.取一小段圓弧Δs，則電荷量為

ΔQ=λΔs

所以各場強(qiáng)分量的疊加為合場強(qiáng)

由對稱性可知∑Δy=2Rsinα，因此，有

這是圓心角為2α的均勻帶電圓弧在圓心產(chǎn)生的場強(qiáng)公式.

在上述推導(dǎo)過程中綜合利用了微元法、疊加法、分解法和對稱性.

3 均勻帶電直線和圓弧產(chǎn)生電場的關(guān)系

【例3】如圖4所示，一直線AB均勻帶電，電荷線密度為λ，過其一端B做垂線，垂線上的P點(diǎn)到帶電直線的距離為R；以P點(diǎn)為圓心的弧線A′B與直線相切于B點(diǎn)，均勻帶電，電荷線密度也為λ，求證：均勻帶電直線AB在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)與均勻帶電圓弧A′B在圓心產(chǎn)生的場強(qiáng)相等.

圖4 例3題圖

磁場方向沿P點(diǎn)對角線的平分線方向.

這表明，只要均勻帶電直線一端與均勻帶電圓弧一端相切重合，另一端位于同一半徑所在的直線上，即直線與圓弧對圓心的張角相等，那么任意畫一個圓心角所截取的兩部分帶電體在圓心產(chǎn)生電場的強(qiáng)度相同.所以從整體角度而言，均勻帶電直線AB在P點(diǎn)產(chǎn)生電場的強(qiáng)度與均勻帶電圓弧A′B在圓心產(chǎn)生電場的強(qiáng)度大小相等，方向相同.

回顧例1，圖2相當(dāng)于圖4的一部分，如圖5所示，但其中直線的延長線與圓弧的延長線仍然相切與點(diǎn)D，這是結(jié)論成立的前提條件.另一方面，對于兩道例題的解答方法是相似的而且是統(tǒng)一的.