一道全國物理競賽試題的簡解及其引起的思考

蔡 陽 黃紹書

(六盤水市第23中學(xué) 貴州 六盤水 553001)

一道全國物理競賽試題的簡解及其引起的思考

蔡 陽 黃紹書

(六盤水市第23中學(xué) 貴州 六盤水 553001)

根據(jù)角動量守恒定律，對一道全國物理競賽試題給出巧妙而簡捷的解答，并對由此引起的一些相關(guān)問題予以討論．

角動量守恒定律 物理競賽 巧解 討論

1 問題的提出

第八屆全國中學(xué)生物理競賽已經(jīng)過去25年，然其預(yù)賽第一試試題第5題，如今想起依然歷久彌新．賽場監(jiān)考看到的情景，僅有少數(shù)參賽選手能零散地列出個別方程組，多數(shù)甚至無從下筆．本次競賽后一周，中央電視臺一套節(jié)目特邀有關(guān)專家針對該題作專題剖析，可見其難度之大．

【題目】如圖1所示，一水平放置的圓環(huán)形剛性窄槽固定在桌面上，槽內(nèi)嵌著3個大小相同的剛性小球，它們的質(zhì)量分別是m1，m2和m3，且m2=m3=2m1．小球與槽的兩壁剛好接觸而它們之間的摩擦可忽略不計．開始時，3球處在槽中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的位置，彼此間距離相等；m2和m3靜止，m1以初速度

圖1 題目題圖

根據(jù)競賽組委會提供的參考答案以及目前相關(guān)網(wǎng)站搜索的信息，這道題形成共識的解答思路，就是根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律計算出各個小球之間的每次相互碰撞前后的速度，分析出各次相互碰撞的位置和相鄰兩次碰撞之間經(jīng)歷的時間，從而得出問題的解．由于要多次涉及高次方程組的求解和多次碰撞的復(fù)雜性，使得問題的解答特別困難．

2 試題的簡解

根據(jù)質(zhì)點和質(zhì)點組角動量守恒定律[1]可知，由于窄槽對3個小球組成的系統(tǒng)作用力的力矩為零，因此系統(tǒng)在運動過程中的角動量守恒．

設(shè)系統(tǒng)運動過程中質(zhì)心速度為v，那么

Rm1v0=R(m1+m2+m3)v

所以

因此

3 共識普遍解[2,3]

由于各個小球之間的碰撞均為彈性碰撞，因此，碰撞過程中系統(tǒng)的動量和機械能都守恒．

得

得

至此，3個小球組成的系統(tǒng)相對于原位置均分別改變了120°，且速度與初始狀態(tài)相同．故再經(jīng)過這樣兩個相同的過程就完成一個系統(tǒng)運動周期T，因此

T=3(t1+t2+t3+t4)=20 s

4 思考與討論

“簡解”與“普遍解”的計算量和繁簡程度存在很大的反差．由此，引起一些相關(guān)問題值得討論．

(1)系統(tǒng)的運動周期與各小球的初始位置無關(guān)，但初始位置對“普遍解”的計算復(fù)雜性有較大的影響．

(2)各個小球之間的碰撞如果是非彈性碰撞，那么不存在系統(tǒng)運動的周期問題，因為系統(tǒng)不可能恢復(fù)到初始狀態(tài)．

(3)質(zhì)點組角動量守恒定律，在特定條件下可理解為切線方向的動量守恒定律．

1 漆安慎， 杜嬋英. 力學(xué). 北京： 高等教育出版社, 2005. 167～178

2 第八屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽第一試試題參考答案及評分標準

3 網(wǎng)絡(luò).http://www.1010jiajiao.com/gzwl/

2016-12-08)