一道全國物理競賽試題的簡解及其引起的思考

蔡 陽 黃紹書

(六盤水市第23中學 貴州 六盤水 553001)

一道全國物理競賽試題的簡解及其引起的思考

蔡 陽 黃紹書

(六盤水市第23中學 貴州 六盤水 553001)

根據角動量守恒定律，對一道全國物理競賽試題給出巧妙而簡捷的解答，并對由此引起的一些相關問題予以討論．

角動量守恒定律 物理競賽 巧解 討論

1 問題的提出

第八屆全國中學生物理競賽已經過去25年，然其預賽第一試試題第5題，如今想起依然歷久彌新．賽場監考看到的情景，僅有少數參賽選手能零散地列出個別方程組，多數甚至無從下筆．本次競賽后一周，中央電視臺一套節目特邀有關專家針對該題作專題剖析，可見其難度之大．

【題目】如圖1所示，一水平放置的圓環形剛性窄槽固定在桌面上，槽內嵌著3個大小相同的剛性小球，它們的質量分別是m1，m2和m3，且m2=m3=2m1．小球與槽的兩壁剛好接觸而它們之間的摩擦可忽略不計．開始時，3球處在槽中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的位置，彼此間距離相等；m2和m3靜止，m1以初速度

圖1 題目題圖

根據競賽組委會提供的參考答案以及目前相關網站搜索的信息，這道題形成共識的解答思路，就是根據動量守恒定律和機械能守恒定律計算出各個小球之間的每次相互碰撞前后的速度，分析出各次相互碰撞的位置和相鄰兩次碰撞之間經歷的時間，從而得出問題的解．由于要多次涉及高次方程組的求解和多次碰撞的復雜性，使得問題的解答特別困難．

2 試題的簡解

根據質點和質點組角動量守恒定律[1]可知，由于窄槽對3個小球組成的系統作用力的力矩為零，因此系統在運動過程中的角動量守恒．

設系統運動過程中質心速度為v，那么

Rm1v0=R(m1+m2+m3)v

所以

因此

3 共識普遍解[2,3]

由于各個小球之間的碰撞均為彈性碰撞，因此，碰撞過程中系統的動量和機械能都守恒．

得

得

至此，3個小球組成的系統相對于原位置均分別改變了120°，且速度與初始狀態相同．故再經過這樣兩個相同的過程就完成一個系統運動周期T，因此

T=3(t1+t2+t3+t4)=20 s

4 思考與討論

“簡解”與“普遍解”的計算量和繁簡程度存在很大的反差．由此，引起一些相關問題值得討論．

(1)系統的運動周期與各小球的初始位置無關，但初始位置對“普遍解”的計算復雜性有較大的影響．

(2)各個小球之間的碰撞如果是非彈性碰撞，那么不存在系統運動的周期問題，因為系統不可能恢復到初始狀態．

(3)質點組角動量守恒定律，在特定條件下可理解為切線方向的動量守恒定律．

1 漆安慎， 杜嬋英. 力學. 北京： 高等教育出版社, 2005. 167～178

2 第八屆全國中學生物理競賽預賽第一試試題參考答案及評分標準

3 網絡.http://www.1010jiajiao.com/gzwl/

2016-12-08)