探究萬有引力定律的3種特殊應用

王 毅

(保定市第二中學 河北 保定 071000)

探究萬有引力定律的3種特殊應用

王 毅

(保定市第二中學 河北 保定 071000)

萬有引力定律是高中物理的一個重要規律，雖然教材篇幅較少，卻在歷年高考中常常作為重點考查內容出現．萬有引力定律相關題目充分考查了學生分析問題、建立模型、數形結合、空間想象及應用數學解決物理問題的能力．相關題目還往往與太空探索、最新科技、最受關注的新聞熱點及愛國主義教育結合，非常符合高考命題方向．但學生對這部分考題往往不易把握，特別是一些特殊類型的應用學生不知如何入手．

對于萬有引力定律的一般應用可以概括為兩種，如表1所示.

表1 對萬有引力定律的兩種應用

這兩類問題很常見，學生也比較容易理解，經過一定練習較容易掌握．

而一些特殊類型的應用不能用以上的方法輕易解決，需要調動更多的物理和數學知識以及更深入的邏輯思維能力，往往讓學生不知如何入手，成為了很多學生眼中的難題．下面就對萬有引力定律的3種特殊類型的應用作一總結歸納．

1 雙星和多星問題

雙星或多星互相環繞的情景在宇宙中非常常見，也是高考考查重點之一，但由于沒有一般應用中的“中心天體”，且萬有引力公式中的距離R和向心力公式中的軌道半徑r并不相等，導致學生常常答錯．

如圖1所示，雙星問題的幾個常用結論：

(1)對兩星均大小相等的物理量有萬有引力(向心力)、周期、角速度，即

F1=F2T1=T2ω1=ω1

(2)對兩星均與質量成反比的物理量有軌道半徑、線速度、向心加速度，即

(3)若兩星體質量分別為m1和m2，之間的距離為L，則互相環繞的周期為

圖1 雙星問題

進一步對于多星問題，基本關系是由萬有引力的合力提供向心力，同時注意由幾何關系確定軌道半徑．常見的是三星系統和四星系統，三星系統常見的有兩種形式.

形式一為3顆質量相等的星體環繞中心運動，如圖2所示.若三星體質量均為m，星體之間的距離為L，則對于任意一個星體核心關系式為

圖2 三星成正三角形的系統

形式二為兩顆質量相等的星體環繞另一中心星體運動，如圖3所示.若兩星體質量均為m，中心星體質量為M，軌道半徑為r，則對于任意一個環繞星體核心關系式為

圖3 三星成直線的系統

對于四星系統，一般為4顆質量相等的星體環繞中心運動，如圖4所示.若四星體質量均為m，星體之間的距離為L，則對于任意一個星體核心關系式為

圖4 四星成正方形的系統

總之，對于雙星和多星問題需要引導學生分析清楚向心力的來源，注意區分星體距離和圓周運動軌道半徑的不同，結合運動示意圖和幾何關系細心求解．

2 橢圓軌道問題

典型應用：如圖5所示，衛星a環繞地球勻速圓周運動，軌道半徑為r，周期可由萬有引力定律求出為Ta，另一衛星b環繞地球做橢圓軌道運動，近地點近似為地球表面，遠地點為衛星a軌道處，地球半徑為R，求衛星b的周期．則可由開普勒第三定律得出

即可求解．

圖5 有衛星做橢圓軌道運動

若問題變形為衛星b的近地點高度為h1，遠地點高度為h2，則表達式相應調整為

仍可求解．另外，衛星由遠地點運動到近地點所用時間為周期的一半，需要注意的是，橢圓軌道運動與勻速圓周運動不同，前者速率并非保持不變，所以并不是運行任意“半圈”所用時間都為周期的一半．

3 引力勢能問題及機械能問題

一個典型的應用是：推導第二宇宙速度的表達式．即從地表以某一速度發射物體，其運動到距離地球無窮遠處時，速度剛好減為零，把這一速度就稱為地球的第二宇宙速度(脫離速度)．由引力勢能的概念和機械能守恒定律可列表達式

即在地表發射時的動能和引力勢能之和等于飛到無窮遠處時的相應能量之和(均為零)．

另外，可以引導學生進一步思考推出環繞中心天體圓周運動的物體的機械能E表達式，即

利用該式可以解決一些本來只能定性理解的問題．例如：某一人造地球衛星原來軌道半徑為r1，由于受到外層大氣阻力的作用，軌道半徑降低為r2，已知地球質量M和衛星質量m及引力常量G，求阻力做功W阻為多少？則利用功能關系和機械能表達式可得

類似題目在多省市高考題中出現，是多數學生解題的難點之一．

以上就是對萬有引力定律的3種特殊應用所做的總結，在教學中可以引導學生分析和推導出相應結論，不僅方便應用結論解題，還能鍛煉學生的物理思維能力和數學運算技巧．

2017-02-15)