再談“光滑斜面上滑塊下滑問題”的求解方法

于志明 劉麗麗

(連云港師范高等專科學校物理系 江蘇 連云港 222006)

再談“光滑斜面上滑塊下滑問題”的求解方法

于志明 劉麗麗

(連云港師范高等專科學校物理系 江蘇 連云港 222006)

給出光滑斜面上滑塊下滑問題中相對運動關系，利用守恒定律和拉格朗日方程對問題進行求解．建議一些優秀的高中生學習初步的分析力學知識，以提高他們處理復雜力學問題的能力．

斜面 滑塊 動量守恒 機械能守恒 拉格朗日方程

文獻[1]研究了這樣一道力學題：如圖1所示，一質量為M，傾角為θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一質量為m的滑塊從斜面頂端釋放．試求：

(1)斜面的加速度aM；

(2)滑塊相對斜面的加速度a相對；

(3)滑塊的加速度am．

圖1 題圖

在文獻[1]中分別利用非慣性系動力學方程和受力分析圖的方法給出了此題的兩種解法．這是一道考查學生物理學素養的好題，此題的其他方面的問題也受到了人們的關注[2]．本文先建立滑塊與斜面的相對運動關系，然后給出此題的兩種解法：一種解法是利用守恒定律，這是牛頓力學中求解這道題的比較簡單的方法；另一種解法是運用拉格朗日方程，這種方法要求學生掌握初步的分析力學知識．我們認為，在今天的高中物理教學中，牛頓力學受到了高度關注，而對牛頓力學之后發展起來的力學高峰——分析力學，沒有給予適當的關注．我們建議，當前的一些優秀的高中生學習初步的分析力學知識，如虛功原理和保守力系的拉格朗日方程，這對于豐富他們的物理學知識，提高他們處理復雜力學問題的能力，使他們在各種考試競賽中取得好成績是大有幫助的[3]，這也可以作為部分高中物理教學改革發展的一個方向．

1 滑塊與斜面相對運動關系的數學表示

建立如圖2所示的直角坐標系O-xy，該坐標系在空間固定不動，其原點在剛開始運動時斜面的頂點．設某一時刻斜面右邊線的水平坐標為X，滑塊在斜面上下滑的距離為s，則此時滑塊在直角坐標系O-xy中的坐標為

x=X-scosθ

(1)

y=ssinθ

(2)

圖2 建立直角坐標系

式(1)、(2)也是滑塊與斜面相對運動的坐標關系的數學表示．將式(1)、(2)的兩邊分別對時間t求導數得

vx=vM-v相對cosθ

(3)

vy=v相對sinθ

(4)

式(3)、(4)中的vx，vy是滑塊的速度在直角坐標系O-xy的兩坐標軸上的投影，vM是斜面在水平面上運動的速度，v相對是滑塊在斜面上下滑的相對速度．式(3)、(4)就是滑塊與斜面相對運動的速度關系的數學表示．將式(3)、(4)的兩邊再對時間t求導數得

ax=aM-a相對cosθ

(5)

ay=a相對sinθ

(6)

式(5)、(6)中的ax，ay是滑塊的加速度在直角坐標系O-xy的兩坐標軸上的投影，aM是斜面在水平面上運動的加速度，a相對是滑塊在斜面上下滑的相對加速度．式(5)、(6)就是滑塊與斜面相對運動的加速度關系的數學示．

以上得到的這些相對運動關系，在這道題的求解過程中是十分重要的．

2 利用守恒定律來求解

我們知道由滑塊和斜面組成的系統在直角坐標系O-xy中的水平方向的動量是守恒的，由此得

mvx+MvM=0

(7)

由滑塊和斜面組成的系統在直角坐標系O-xy中的機械能是守恒的，由此得

(8)

由式(3)、(7)可得

(9)

將式(9)代入式(7)得

(10)

將式(4)、(9)、(10)代入式(8)得

(11)

將式(11)兩邊對時間t求導數可得

(12)

將式(9)兩邊對時間t求導可得

(13)

將式(12)代入式(13)得

(14)

將式(12)、(14)代入式(5)、(6)得

(15)

(16)

所以

(17)

在已經求得滑塊和斜面在直角坐標系O-xy中運動的加速度以后，我們還可以求得滑塊和斜面以及斜面和水平面之間的相互作用力．

3 利用拉格朗日方程來求解

我們大家知道，分析力學是在牛頓力學之后力學理論發展的一個里程碑，對于求解比較復雜的力學問題，分析力學的方法要比牛頓力學的方法優越得多．

在分析力學中，受到理想約束(如光滑面、光滑線、光滑鉸鏈、剛性桿、不可伸長的繩的約束)的保守系的基本動力學方程為拉格朗日方程，下邊我們用拉格朗日方程來求解這道題．

以滑塊和斜面作為研究的系統，該系統是受到理想約束的保守系．要確定滑塊和斜面的空間位置只要2個獨立參量，我們就選擇圖2中的X和s，顯然由X就確定了斜面的位置，而由s就確定了滑塊相對于斜面的位置．

系統的動能為

(18)

將式(3)、(4)代入得

(19)

系統的勢能可以表示為

V=-mgssinθ

(20)

系統的拉格朗日函數為

(21)

將L代入拉格朗日方程

(22)

和

(23)

得

m(aM-a相對cosθ)+MaM=0

(24)

a相對-aMcosθ-gsinθ=0

(25)

由式(24)、(25)可解得a相對和aM，結果同前．其余略．

試想如果我們將圖1所示的問題改為圖3所示的問題，這時我們用拉格朗日方程來求解比用牛頓

力學來求解就要更加方便了．

圖3 拓展

1 吳好.用受力分析圖分析光滑斜面上滑塊下滑問題.中學物理,2012,30(19):73～74

2 何述平.一個力學問題的一對內力做功的探討.物理教師,2012,33(8):43～44

3 袁張瑾.競賽中巧用“元功法”求解的平衡問題.物理教學,2012,34(8):56～57

2016-12-30)