要把數學學抽象

邢鴻遠

數學離不開思維，而抽象是思維活動過程中不可缺少的組成部分，只有把數學學抽象了，我們才有可能在錯綜復雜的事物中抓住問題，在變化萬千的事物中抓住一般規律，并用簡潔準確的語言表達本質和規律。

數學思維學抽象我學了十多年的數學，最大的感受是數學的學習過程是不斷變化著的，由幼兒園的數數、小學的算算身邊的問題（應用題），到進入初中后直截了當地面對抽象的代數式，我們從充滿好奇地數碗、數桌腿享受著童真之樂，到學習平面幾何、平面直角坐標系和函數等等通往真正數學的學習，也就是抽象的數學，到了高中，數學的學習變得有規律、系統化，從集合開始，到各種各樣的函數，到解三角形、不等式，到導數……漸漸地，我開始學會在數學式中找規律，在圖和形中探思路，在抽象的符號中尋路徑。

一、抽象是什么

1.把事物本質化。抽象，是把繁雜問題簡單化，條理化，幼兒園的老師常常用溫柔如清風般的話語問我們：“如果你有一個蘋果，別人又給了你兩個蘋果，那么你現在有幾個蘋果？”現在如果有人問我們這個問題，我們可能會認為是不是腦筋急轉彎或是有意嘲弄我們的智商，因為這太簡單了，就是“1+2=？”呀，而這恰恰是一抽象，去掉了冗雜的情境包裝，暴露出來的是問題的本質，其實，解決數學問題就是一個不斷探索問題本質的過程，就好像你吃柚子，需要把外面對你無用的皮一層層剝掉，才能品嘗到可口的果實。

2.去掉具體內容，將問題符號化。我們都知道，數學這門學科力求簡單明了，用最干練的方式闡述出事物的性質，比如我們在學習立體幾何時，需要研究平面、線點之間的關系，我們如果總是用文字“平面”“線”與平行或相交等來表述的話，那就會很麻煩，而抽象則可以很有效地解決這些麻煩，我們可以用“α”“β”““∩”這些字母和符號來表示這些面、線以及它們之間的關系，定義出一些難以用文字表達的含義，而且別人也都明白這些含義，既能夠簡易表達促進解決問題，也方便不同的人交流想法。

3.通過假設和推理建立法則、公式或者模型，追求普適性。畢達哥拉斯學派有“萬物皆數”的思想，他們認為世界上的所有事物都體現或包含著數學的知識，而且可以用數學來表示、表達世界上一切事物，我們知道“天行有常，不為堯存，不為桀亡”，萬物的運動都有一定的規律，那么，數學也是如此，普遍性是無處不在的，正如德國哲學家萊布尼茨所說“世界上沒有兩片完全相同的葉子，也沒有兩片完全不同的葉子”，而抽象的重要方面就是在一般意義上解釋具體事物，如果我們總是碰到一個看似從來未接觸的問題就沒了思路與頭緒，漫無目地胡思亂想，只會讓自己精神疲倦而無所得，我們要學會將其與一些我們熟悉的問題試著聯系起來，尋求解法。

我們都知道，二次函數的圖像是拋物線，如果要求一個二次函數的值域或最值，相信大多數初中生都能駕輕就熟。

二、怎樣把數學學得抽象

1.最大限度地抽象

我們知道，“冰凍三尺，非一曝之寒”，要做到深層次的抽象，必須在平時的思考、做題中逼迫自己去抽象地思考問題，比如我們做一些幾何的填空題，也許我們習慣于畫個圖，把平面幾何的圖描繪出來，或是把立體圖形較為直觀地畫在圖上，去分析觀察，有些問題也許就能慢慢地解決，甚至有些問題通過圖形一目了然，倘若一直依賴于將其直觀化來解題，又怎能將數學學得抽象呢？所以，我們要強迫自己最大限度地抽象，在腦海里思索這些問題，也許這個過程會有些痛苦，但我們抽象的能力及水平于無形之中一點點提升著，此外，對于一次函數、二次函數等這些我們熟悉的函數的圖象，我們要做到頭腦中有圖。

2.讓數學問題變得不太抽象

努力地去抽象當然很關鍵，但有時與其拘泥于泥淖之中進退兩難，不如另辟蹊徑，找到一條平坦一些的道路，達到事半功倍的效果。

進入高中的數學學習后，數學這一門學科的學習再也不像往日那樣輕松，迎來的挑戰一波接一波，常常是解題時，想不出來題目說的到底是什么樣的，總還習慣性以為以前的老套路，老想法依然可以解題，結果往往是失敗，數學也開始不需要從前那么“真實”，是玩“符號游戲”，有點“空對空”的感覺，這時候，我們應該學會靈巧一點，如說畫個圖，讓其直觀化一些；或是舉些例子，在例子中試圖歸納出一些性質和共同點；再者我們可以將已經學過的知識與其聯系起來，通過類比、推理的方法尋找解題的路徑。

3.將類似的問題化歸到一類問題

化歸在我看來就是追求普適性，這里我們談談一個轉化為二次函數的例子：endprint