小議直覺與無窮大

楊新宇

直覺憑借直觀感覺進行判斷、下結論，借助于感覺的可信性進行思考。無限就是沒有盡頭，無限具有無窮的魅力。與無限有關的問題，經常吸引著人們，讓人們輾轉反側，又經常讓人困惑不已，就是經常違反你的“直覺”，遇到無限，直覺經常失效。用三個問題進行說明。

直覺無窮大自然數直覺憑借直觀感覺進行判斷、下結論，借助于感覺的可信性進行思考。利用直覺確實可提出新命題，引出新觀點。直覺使人的認識出現了創造性，使人擴大了知識的空間。

無限就是沒有盡頭。比如，自然數的個數是無窮無盡的，對一個人來說，無論他的壽命有多長，都不可能把所有的自然數數完，理由很簡單，當他數到第n個數，都有第n+1個數等著他來數。

面對“所有的自然數”，有人認為“所有的自然數”不存在，因為你無法數完，數的過程是無窮無盡，只有這個過程結束，才能得到所有的自然數，這是“潛無限”的觀點；有人認為“所有的自然數”存在，因為每個自然數都可數到，所以每個自然數都存在，這是“實無限”的觀點。

無限具有無窮的魅力。希爾伯特曾說過：“從來就沒有任何問題能像無限那樣深深地觸動人們的情感，沒有任何觀念能像無限那樣，曾經如此卓有成就地激勵著人們的理智，也沒有任何概念像無限那樣，如此迫切地需要澄清。”與無限有關的問題，經常吸引著人們，讓人們輾轉反側，又經常讓人困惑不已，就是經常違反你的“直覺”，遇到無限，直覺經常失效。下面用三個問題來說明。

一、伽利略問題

伽利略認為，自然數的全體是實實在在的存在，構成實無窮，全體完全平方數也構成實無窮。現在的問題是，自然數多還是完全平方數多呢？

直觀上看，自然數多，為什么呢？完全平方數也是自然數，部分不大于整體，所以自然數多，也有人這樣認為，都是無窮多，所以兩者的個數一樣多。還有人進行簡單地推理，在前10個數中，只有1、4、9三個；在前100個數中，完全平方數只有10個，占自然數的10%；在前10000個數中，完全平方數有100個，只占1%；在前一億個數中，完全平方數占的更少，只占0.01%.這么看，完全平方數在自然數中，滄海一粟，占的分量極少，也就說明自然數多。但問題是都是無限個，就不能利用有限個數多少的方式去比較。我們得換個角度看，有一個自然數就有一個完全平方數。

把所有的自然數排成一排，每個自然數“肩膀”上添個2，便是完全平方數。這樣看，自然數和完全平方數一樣多。那就是部分和整體一樣多（確實！），也可以說無限集可以和其真子集之間建立一一對應關系（這就是無限集合的本質）。

二、神奇的希爾伯特旅館

現實中的旅館都只有有限個房間，請你展開想象的翅膀，假設有這樣一家旅館，有無限個房間（這是實無窮，要想清楚）。這樣的旅館客滿后又來了1個客人，老板能否安排？規定：每一個房間只住一個客人。所謂客滿，就是每一個房間都有人住了。

按照我們的生活經驗，直觀感覺，客滿后再來客人，只好讓他去別家住宿。但擁有“無窮房間”的旅館就是神奇，老板神氣地說：“可以安排。”

老板的“操作”是：先讓原來房間里的客人都出來，然后讓1號房間的客人搬到2號房間去住，讓2號房間的客人搬到3號房間去住，讓3號房間的客人搬到4號房間去住……讓k號房間的客人搬到k+l號房間去住，以此類推.這樣，原來的客人就都有房間住了，而1號房間卻空了出來，這樣就可以讓新客人去住。

那如果來了1000個客人，聰明的同學，你能安排嗎？如果來了一個旅游團，有無窮多個客人，這時你還能安排嗎？

三、萊布尼茲問題

有限項求和，按照運算法則進行即可，可當變成無限項時，我們就會遇到麻煩。如萊布尼茲問題：1-1+1-1+1-1+1-1+1-1…，1與-1交替出現，有無窮項，上式的和為多少？

如果你按照有限項的運算進行，結果有多種情況：

第一種情況：1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+…=（1-1）+（1-1）+…=0：

第二種情況：1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+…-1+（-1+1）+（-1+1）+…=1：

第三種情況：我們可以令S=1-1+11+1-1+1-1+…=1-（1-1+1-1+1-1+1-1+…）-1-S，則可求得S=1/2，針對結果1/2，我們甚至可用一個實例來解釋，一個老頭有兩個兒子，去世時只留下一頭耕牛，遺言交待兩兒子不能殺掉耕牛，殺掉后就沒法耕種。采用的方案是：第一年耕牛在老大家，第二年在老二家，第三年再到老大家，第四年再到老二家，……，依次輪流。我們可以認為，老大和老二都只擁有這頭耕牛的1/2。

上面的三種解釋，看似各有各的道理，但其實都是不正確的，因為這是無限項求和的問題，不能隨便地添加括號，這個式子是無法求和的。

直覺是個強有力的工具，可發現問題，給出猜想，無窮是神秘的王國，充滿著奇異的神奇。當直覺遇上無窮大，我們得到的想法或者結論，需要進一步的邏輯思索，不然會很“尷尬”的。endprint