以數(shù)學(xué)建模為核心算法設(shè)計(jì)教學(xué)中的計(jì)算思維實(shí)踐

白珍+王煜

為了避免學(xué)生出現(xiàn)課上練習(xí)都會(huì)做、課后問(wèn)題撓破頭的現(xiàn)象，普通高中信息技術(shù)課程倡導(dǎo)將知識(shí)積累、技能培養(yǎng)與思維發(fā)展融入到運(yùn)用數(shù)字化工具解決問(wèn)題和完成任務(wù)的過(guò)程中，通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生技術(shù)應(yīng)用與問(wèn)題解決之間的思維連接，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問(wèn)題、歸納問(wèn)題，最終解決問(wèn)題，而這一思維方式正是高中信息技術(shù)核心素養(yǎng)之一——計(jì)算思維。具備計(jì)算思維的學(xué)生，在信息活動(dòng)中能夠采用計(jì)算機(jī)可以處理的方式界定問(wèn)題、抽象特征、建立結(jié)構(gòu)模型、合理組織數(shù)據(jù)；通過(guò)判斷、分析與綜合各種信息資源，運(yùn)用合理的算法形成解決問(wèn)題的方案；總結(jié)利用計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的過(guò)程與方法，并遷移到與之相關(guān)的其他問(wèn)題解決中。可見(jiàn)，建模是計(jì)算思維的核心之一。在算法設(shè)計(jì)中，常常接觸到兩種建模類型：一是數(shù)學(xué)計(jì)算范疇的問(wèn)題，二是非數(shù)學(xué)計(jì)算范疇的問(wèn)題。下面，筆者希望通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)計(jì)算與非數(shù)學(xué)計(jì)算范疇的兩個(gè)算法設(shè)計(jì)案例的分析，幫助學(xué)生逐漸形成以信息技術(shù)的視角思考解決問(wèn)題方案的思維模式，提升其利用信息技術(shù)解決問(wèn)題的能力。

案例一：高空墜球——通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題進(jìn)行的計(jì)算思維培養(yǎng)

一球從100米高度自由落下，每次落地后又反彈回原高度的一半，再落下，求小球在第10次落地時(shí)，共經(jīng)過(guò)多少米？第10次反彈有多高？

一般情況下，數(shù)學(xué)問(wèn)題的算法設(shè)計(jì)只要找到相應(yīng)的數(shù)學(xué)公式就能完成，而用計(jì)算機(jī)解題需要按照計(jì)算機(jī)處理問(wèn)題的步驟進(jìn)行。

第1步：用計(jì)算機(jī)可處理的方式界定問(wèn)題，確認(rèn)問(wèn)題的可計(jì)算性。

學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題一般會(huì)通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算的方式（如等比數(shù)列等）思考和解答。對(duì)于這種情況，可啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行如下思考：

①小球第一次落下100米，反彈100/2米，第二次落地后反彈100/4米……

那么，第i（反彈計(jì)數(shù)）次落地反彈高度=100/2^i。

②第一次落地經(jīng)過(guò)的距離為100米，第二次落地經(jīng)過(guò)的距離為100+2×100/2米……

那么，第i次落地時(shí)經(jīng)過(guò)的距離=100+2×100/2+…+2×100/2^i。

通過(guò)對(duì)問(wèn)題的簡(jiǎn)單推理，得到解決這個(gè)問(wèn)題的一般規(guī)律，以及確認(rèn)這個(gè)問(wèn)題的可計(jì)算性。

第2步：抽象關(guān)鍵要素并符號(hào)化。

通過(guò)對(duì)解題一般規(guī)律的分析可以發(fā)現(xiàn)：解決高空墜球問(wèn)題必須使用原始高度、反彈總次數(shù)、反彈計(jì)數(shù)、反彈高度以及經(jīng)過(guò)距離5個(gè)重要要素，即關(guān)鍵要素。這5個(gè)要素的數(shù)據(jù)在解題過(guò)程中會(huì)隨著實(shí)際情況而發(fā)生變化，因此需用變量表示，如表1所示。

第3步：建立各要素間的數(shù)學(xué)模型。

將符號(hào)化的關(guān)鍵要素帶入到解決問(wèn)題的一般規(guī)律中，建立如下解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：

第i次落地的反彈高度：t=h/2^i；

第i次落地時(shí)經(jīng)過(guò)的距離：s=s+2×t。

第4步：繪制流程圖表述算法，并用程序?qū)崿F(xiàn)。

數(shù)學(xué)模型建立后，根據(jù)解決問(wèn)題的一般規(guī)律，進(jìn)行算法設(shè)計(jì)，通過(guò)流程圖或自然語(yǔ)言等方式表達(dá)，最終用程序?qū)崿F(xiàn)（如圖1）。

在數(shù)學(xué)問(wèn)題案例分析過(guò)程中，學(xué)生容易混淆數(shù)學(xué)計(jì)算與算法設(shè)計(jì)的概念，需要幫助學(xué)生明確二者的區(qū)別：數(shù)學(xué)計(jì)算是針對(duì)某一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行的一系列的數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程，注重運(yùn)算結(jié)果的正確性；而算法設(shè)計(jì)是針對(duì)同類問(wèn)題的歸納性解決方案，注重問(wèn)題的解決過(guò)程，不會(huì)由于初始數(shù)量的變化導(dǎo)致解決方案的變化。因此，數(shù)學(xué)計(jì)算與算法設(shè)計(jì)是單一問(wèn)題的解決與同類問(wèn)題解決方案的區(qū)別。

案例二：我是大偵探——通過(guò)非數(shù)學(xué)計(jì)算問(wèn)題進(jìn)行的計(jì)算思維培養(yǎng)

12月13日凌晨3：13，丹姆斯頓大街上的卡爾一家發(fā)生了命案，卡爾先生一家人無(wú)一幸免。警局接到報(bào)案后立即派人趕往現(xiàn)場(chǎng)，經(jīng)過(guò)現(xiàn)場(chǎng)勘察、取樣，確定為有人蓄意謀殺……經(jīng)過(guò)多方取證，最后嫌疑犯鎖定在卡爾先生的四名同事身上，經(jīng)審訊得來(lái)的口供，警方確定四人中有一名嫌疑犯在說(shuō)謊，而說(shuō)謊的這個(gè)人就是殺害卡爾一家的兇手。四名嫌疑人（用甲、乙、丙、丁表示）的口供如下，請(qǐng)你判斷找出，誰(shuí)在說(shuō)謊？

警官問(wèn)：“12月13日下午15：00至16：00誰(shuí)離開(kāi)過(guò)辦公室？”甲說(shuō)：“不是我。”乙說(shuō)：“是丙。”丙說(shuō)：“是丁。”丁說(shuō)：“不是我。”

非數(shù)學(xué)問(wèn)題的算法設(shè)計(jì)在提取抽象特征和構(gòu)建數(shù)學(xué)模型兩方面都要難于數(shù)學(xué)問(wèn)題。首先要將問(wèn)題中的文字描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)；其次提取關(guān)鍵要素，通過(guò)數(shù)字或編碼的方式將其符號(hào)化，即以某種數(shù)據(jù)類型如常量、變量、數(shù)組等方式表示，便于計(jì)算機(jī)處理；然后尋找關(guān)鍵要素間的關(guān)系，推理或歸納出數(shù)學(xué)模型；最終通過(guò)算法思想生成自動(dòng)化的解決方案。具體操作步驟如下：

第1步：用計(jì)算機(jī)可處理的方式界定問(wèn)題，確認(rèn)問(wèn)題的可計(jì)算性。

啟發(fā)學(xué)生將文字描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)，得到解決問(wèn)題的思路并確認(rèn)這個(gè)問(wèn)題的可計(jì)算性。

①如果是甲離開(kāi)房間：

判斷可得：甲—假、乙—假、丙—假、丁—真；

結(jié)論：共有3個(gè)人說(shuō)謊，1人說(shuō)真話，因此甲不是兇手。

②如果是乙離開(kāi)房間：

判斷可得：甲—真、乙—假、丙—假、丁—真；

結(jié)論：共有2個(gè)人說(shuō)謊，2人說(shuō)真話，因此乙不是兇手。

……

推論：當(dāng)某人離開(kāi)房間時(shí)，如果判斷得到有3個(gè)人說(shuō)真話，那么離開(kāi)房間的這個(gè)人就是兇手。

第2步：抽象關(guān)鍵要素并符號(hào)化。

根據(jù)分析問(wèn)題得到的推論，可知甲乙丙丁4人、離開(kāi)房間的人以及每次判斷后得到的說(shuō)真話的人數(shù)是解決這個(gè)問(wèn)題不可或缺的關(guān)鍵要素。其中，甲乙丙丁4人在參與問(wèn)題解決過(guò)程中始終存在，并且要依次進(jìn)行判斷，可用常量（數(shù)字）表示；隨著假設(shè)條件的不同，離開(kāi)房間的人與每次判斷得到的說(shuō)真話的人數(shù)都會(huì)發(fā)生變化，這兩個(gè)要素用變量表示（如上頁(yè)表2）。

第3步：建立數(shù)學(xué)模型。

將符號(hào)化的關(guān)鍵要素帶入到解決思路中，得到判斷兇手的條件：

甲說(shuō)：“不是我” （離開(kāi)房間的人不是甲） i<>1；

乙說(shuō)：“是丙” （離開(kāi)房間的人是丙） i=3；

丙說(shuō)：“是丁” （離開(kāi)房間的人是丁） i=4；

丁說(shuō)：“不是我” （離開(kāi)房間的人不是丁） i<>4。

判斷以上4個(gè)條件，結(jié)果為真，則累計(jì)說(shuō)真話的人數(shù)，k=k+1。

第4步：用自然語(yǔ)言表述算法，并用程序?qū)崿F(xiàn)（如圖2）。