由一道課例引發的解題思考

錢耀泉

摘 要：在日常的教學中，有些例題頗具探討價值，對學生也很有啟發性，但多數時候都在我們不經意間被忽視了。筆者嘗試讓學生對一道課例進行思考，以提升學生的解題能力和思維水平，并引導學生進行歸納總結，然后再進行變式訓練。本文最后對解題教學進行了反思。

關鍵詞：解題教學；三點定圓；一題多解；數學思想；數學方法

在日常的教學中，有些例題頗具探討價值，對學生也很有啟發性，但多數時候都在我們不經意間被忽視了，譬如本文將探究的一道課例。

一、課例重現

在北師大版《數學（基礎模塊）下冊》第八章“直線和圓的方程”中第7.3節“圓的方程的確定”，如例9：求過三點A（2，2），B（5，3），C（3，-1）的圓的方程，并指出它的圓心和半徑。

課本給出的解法如下：

點評：由于解Ⅰ和解Ⅱ所設出圓的方程不一樣，得到的方程組也不一樣，但是實質上兩種解法都運用了“一設、二代、三還原”的待定系數法進行解題。

“三點定圓”在我們的教學中既是重點，也是難點，在專業課中更有重要的應用價值。然而，筆者發現多數學生都未能很好地掌握上述兩種解法。即便是能勉強掌握的學生也覺得該題很難。主要原因是學生在初中階段時，教學大綱對三元一次方程組的要求不高，也非中考重點，據學生反映，他們多數的初中老師都是一帶而過地處理該知識點。據筆者的教學經驗：越是學生感到困難的題，其解法越是豐富多彩。因此，筆者決定借此契機嘗試引導學生對該例題進行解題探究，以提升學生的解題能力和思維水平。

二、解題探究

既然學生覺得用三元一次方程組進行解題比較困難，于是筆者在課堂上對學生提出新問題：能否用二元一次方程組來解該題呢？有些學生自行思考，有些學生舉手討教，然后筆者給出提示：“在解法Ⅰ和解Ⅱ中均有3個未知數，若我們根據圓的軌跡方程定義，可將三元方程組變成二元方程組。”很快便有學生分享了他們的解法。

解法點評：本解法借用了圓的軌跡方程的定義，設出圓心后，根據半徑相等，AO`=BO`=CO`，從而將三元一次方程組改為二元一次方程組求出圓心，從而得解。

臨近下課，筆者給學生布置課后思考題：“請用你熟悉的知識，充分挖掘題設的條件，思考例題9的新解法，以學習小組為單位進行統計，解法越多，本次作業的得分越高。”學生的熱情馬上被點燃，下課鈴響后還在紛紛積極討論解題。各個學習小組經筆者的適時引導或適當提示，學生們又得出了以下五種新解法：

解法點評：該生運用三點定圓心的作圖法進行解題，其實質為垂徑定理的運用——線段AB、AC的中垂線l1、l2必垂直與弦AB、AC，且平分該兩弦，由垂徑定理“知二推三”可得，兩中垂線l1、l2必經過圓心，其交點即為圓心O`，從而得解。說明學生對圓的作圖掌握較好，并能結合直線的知識綜合解題。

解法點評：無獨有偶，本解法的實質同樣是運用了垂徑定理的垂直結論，并結合勾股定理列得方程組求出圓心，從而得解。勾股定理是學生非常熟悉，并經常使用的定理，因此該解法也是學生易于接受的解法。

解法點評：本解法勇于嘗試，先算出三點之間兩兩距離，通過勾股逆定理得知三點連線恰好構成直角三角形，再由“直角對直徑”定理得出BC邊為直徑，從而較快速地求出圓心、半徑，從而得解。本解法反映了學生對題設的大膽猜想，并進行了有效的驗證，不失為一個優美的解法！

解法點評：本解法運用了向量法巧妙地進行解題，將復雜的計算變得簡單易算，避開了方程組的繁瑣計算，直接用兩個一元一次方程解出圓心坐標，從而得解。該解法反映了學生對向量法的嫻熟運用，思維獨特，化繁為簡！

解法點評：本解法擺脫了原題設的束縛，大膽構造，將圓上的三點，反過來變為了三個等圓的圓心，靈活地運用了逆向思維進行思考，求出三圓的交點即為原來的圓心，從而得解。反映了學生對圓的定義理解透徹，獨辟蹊徑，很有創意！

三、解題探究小結

在筆者引發學生對課例的解題探究中，可謂是一石激起千層浪。學生或從作圖法入手，或從垂徑定理思考，或從勾股定理逆定理推演，或從向量法妙解，或從逆向思維探索……各個解法無不閃爍著學生睿智的光芒！非常精彩！

筆者將學生的解題探索一一展示給全班同學賞析學習，并讓他們進行歸納反思。學生在教師的引導下對“三點定圓”問題進行了如下小結：

（一）解題知識方面：我們可運用圓的一般方程及標準方程、兩點距離及中點坐標公式、方程或方程組、圓的軌跡方程定義、垂徑定理、中垂線的定義、勾股定理及其逆定理、直線的點斜式方程、兩垂直直線的斜率關系、向量的加法及數乘等知識進行著手；

（二）解題思想方面：我們可運用函數與方程（組）的思想、數形結合的思想、化歸的思想、逆向思維等思想進行探索；

（三）解題方法方面：我們可從定義法、待定系數法、作圖法、向量法、構造法等方法進行思考；

（四）解題步驟方面：除了待定系數法外，我們在解決“三點定圓”問題時，關鍵在于求出圓心坐標，然后都是根據兩點距離或向量模公式求出半徑r，從而得解。

四、課例拓展——變式訓練

三點定圓的題設本質：不在同一直線上的三點確定一個平面。其推論有：一條直線及直線外一點可以確定一個平面；兩條相交直線可以確定一個平面。筆者依據“從一般到特殊”的演繹推理原則，更改了題設條件，再次對學生的思維進行提升變式訓練：

（1）如圖7，已知某圓上一點A（2，2）的切線方程l：2x-y-2=0，及圓上另一點B（6，2），求該圓的方程。

思維點撥：本題可由點A與切線方程，得出其法線方程，則它必過圓心O`，以此設出一元的圓心坐標（a，f（a）），再根據相切有d=r，即d=O`B，從而得解。該題綜合運用了直線的斜率、點斜式方程、點線距離等進行解題。

（2）如圖8，已知圓上三點坐標分別為O（0，0）、B（0，2）、C（6，0），求該圓的方程。

思維點撥：根據前面學生的解法分享，本題依然可以運用本文提及的8種解法進行解題。然而，本題中OB、OC的連線恰好分別為x軸的垂直線與平行線。據本文的解Ⅳ，由垂徑定理，圓心必在OB、OC的中垂線的交點位置，則可直接口算出圓心坐標為O`（3，1），從而得解。雖然該解法非常便捷，可以秒算出圓心，然在用法上有其局限性。

五、解題教學反思

（一）須務實基礎。筆者認為在解題方法的探索中，知識是根，思想是枝葉，方法技巧是花。教師要先讓學生務實基礎，只有根基扎實了，才能茁壯健康成長。

（二）重視數學思想與方法的滲透。解題探究的目的并不是為了得出答案，更重要的是引導學生學習其中的數學思想與方法，鍛煉其思維。我們則需要在日常教學中要不斷對學生進行滲透，并引導他們進行及時歸納反思所學，構建并完善學生的知識與技能體系。

（三）因勢利導。雖然條條大路通羅馬，但是教師不能盲目地拔高，我們應該根據學生實際的基礎水平及其思維方向進行點撥。因勢利導，順勢而為，則會事半功倍！

（四）呵護學生的智慧火花。即使對數學有濃厚興趣的學生有時遇到難題也難免會產生畏難情緒。這時需要教師對學生的努力給予及時的肯定、積極的鼓勵。

綜上，這是筆者解題教學實踐中長期以來堅持的做法，相信這與本人所輔導的學生參加每一屆的廣州市數學競賽都榮獲一等獎的殊榮存在一定的因果關聯，在此拋磚引玉。最后借數學家華羅庚先生的格言共勉：“天才始于積累，聰明在于勤奮。”

參考文獻：

[1]曹一鳴，程曠.數學（基礎模塊）下冊[M].北京師范大學出版社，2011：106.

[2]汪江松.數學思想方法[M].廈門大學出版社，2009：8.1.endprint