冪指函數求導法的探索

賀電鵬

摘 要 冪指函數是一種比較復雜的函數，傳統的求導方法雖然也能解決求導這一問題，但運用起來比較繁瑣，學生難以掌握，這樣會造成學生在運用上的錯誤。本文在傳統方法的基礎上，結合新的理論知識，通過對冪指函數的求導方法的進一步探討，總結出了三種相對比較簡便的求導方法，并給出相應的例題，同時針對同一例題，給出不同的解法，來比較不同方法解決同一問題的難易程度。最終可見，這三種方法運用起來簡單、易懂，從而會使學生容易接受，同時也降低了老師的授課難度。

關鍵詞 冪指函數 求導 隱函數法 輔助函數法 多元函數求導法

中圖分類號：0172.1 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.07.019

The Explore of Power-exponential Function Derivative

HE Dianpeng

（Faculty of General Education， Zhengzhou Technology and Business University， Zhengzhou， Henan 451400）

Abstract The exponential function is a complex function， although the traditional derivation method can solve this problem by derivation， but is complicated， it is difficult to grasp， this will cause the students in the use of the error. This paper is based on the traditional method， combined with the new knowledge， through to further explore the function refers to the power， summed up the three kinds of relatively simple derivation method， and gives the corresponding examples， at the same time for the same example， give different solutions， the degree of difficulty to compare different solutions to the same a problem. Finally， it can be seen that the three methods are simple and easy to use， which will make students easy to accept and reduce the difficulty of teaching.

Keywords Power-exponential function； derivative； implicit function law； auxiliary function method； function of many variables derivation law

1 冪指函數的相關知識

形如 ①的函數稱作冪指函數，其中都是關于的函數。[6]

它是一類較為復雜的函數，從某種意義上說，式①可以看做復合函數的延伸。近年來，這類函數的求導問題得到了廣泛的研究，并總結出一系列的求導方法。比如，文獻[4]主要從一元冪指函數的導數和多元冪指函數的導數兩方面研究了冪指函數的導數；文獻[5]主要從對數求導法、對數指數恒等變形，即，和構造輔助函數兩方面介紹了冪指函數導數的求法。冪指函數求導法的新探索主要是在已有冪指函數求導法的基礎上，為了解決更復雜的冪指函數求導問題，通過定理得形式，對冪指函數求導而進行的探索。[4][5]

2 常見冪指函數求導法的列舉和應用[1-4]

2.1 顯函數法

尋找冪指函數①與冪函數或指數函數的互化是我們想要的，考慮將冪指函數化為指數函數或冪函數的形式，然后進行求導，從而解決問題。將①表示為指數函數顯然比表示為冪函數簡單。因為，由式①及等式，指數對數恒等變形可將①表示如下形式： ②

對②可利用指數函數的導數公式及復合函數求導法則來求出，具體過程如下：

解對于（2）它是函數與的復合函數。已知 ③

其中又是復合函數，其導數是，將其代入③，有 ④

于是

故 ⑤

2.2 隱函數法

顯函數法中主要技巧是通過對數指數恒等變形，把指數放到對數的真數上，再根據對數函數的性質將真數取到前面做系數，從而使求導不再困難。在顯函數法中先取對數得

⑥

此時可利用隱函數求導法求出 同⑤。

2.3 常見冪指函數求導法在實際問題中的應用

例1 計算冪指函數的導數。

解（顯函數法）利用對數恒等式將變形為函數，然后再利用復合函數的求導法則計算導數，得：

例2計算函數的導數。

解（隱函數法）兩邊取對數，，隱函數求導法，解得

以上兩種方法是傳統教材中講授的方法，接下來，以定理的形式給書冪指函數求導方法的新探索，并附以每個定理的證明及應用，具體內容見下面一部分。

3 冪指函數求導方法的新探索

3.1 主要定理及證明[2][3]

定理1[7] 冪指函數的導數等于兩個函數的導數之和：一個是把底數看作常數（指數看作中間變量）的指數函數的導數：另一個是把指數看作常數（底數看作中間變量）的冪函數的導數。即

。

定理2設冪指函數，且均可導，則有

證明令，，則，當取得增量時，也相應地得到增量。此時，有

上式中，當時，，這樣有

所以

推論1

（1） 指數函數是常數）與冪函數 （是常數）均可認為是冪指函數的特殊情況，定理2顯然成立。

（2）函數，、 可取基本初等函數也可以是六類基本初等函數經過四則運算而得到的函數，還可以是函數的復合函數。

（3）對于函數，由（2）和初等函數的定義[1]可以得到，當、 都是初等函數時，定理2仍然成立。

定理3 設多元冪指函數

且均可導，則有

其中時，；時，

定理4 設階冪指函數

且

且均可導，則有

3.2 應用舉例

有了3.1關于冪指函數的主要定理和結論，應用相關定理可以很方便地解決冪指函數導數的求解問題，具體舉例如下。

例3 已知函數，求。

解 利用定理1有

例4 已知函數 ，求。

解法一 利用定理1有

解法二 令，其中。

利用定理2有

例5已知，求。

解 令，其中，

利用定理3有

例6已知，求。

解 令 ，其中。

利用定理4有

在求冪指函數的導數時，還是應該遵循由淺入深，由簡及難的原則。

觀察冪指函數導數的形式，我們提出了冪指函數的一種新的求導方法——輔助函數法[5]，這種方法根據冪指函數的形式特征，充分利用了冪函數和指數函數的求導公式，具體步驟如下：

（1）對冪指函數取輔助函數為常數；

（2）求對的導數，其結果等于對的導數，

（3）把上式中的換成，換成得到

。

這種方法所用知識點主要涉及一般的初等函數求導法，學生此部分掌握熟練，易于上手，可以開闊學生思路。下面，舉例說明：

例7 已知 ，求。

解法一 上式兩邊取自然對數1n =cos 1n sin ，兩邊對求導數，解得 ，

。

解法二 對冪指函數取輔助函數

，求對的導數：

。把上式中的換成sin ，換成cos（）則有。

觀察上題的兩種解法，不難發現，第二種解法算起來簡便，不易出錯，但這樣做有沒有道理呢？下面我們就一般情況給出證明。

命題1 如果函數 在區間內均可導且，則冪指函數的導數為把它看作冪函數求得的導數與把它看做指數函數求得的導數的和。

證 由導數的定義，有

其中：

，

。 即為把冪指函數看作冪函數時求得的導數。

下面證明為把它看作指數函數時求得的導數，令，則有

由于

因此，命題得證。

4 小結

對于一般的冪指函數，我們采用以上幾種方法，算起來簡單易行，特別是公式法，直接套用公式，可以使思路變得簡單，有助于學生掌握.而通過其它幾種方法，如輔助函數法，在計算比較復雜的冪指函數時，可以使計算變得更加簡單，避免了學生在計算中的錯誤，提高了學生計算的準確率，使教師在教學中也得以簡單易行。我們只有在以后的工作和學習中，善于利用自己已有的知識，并不斷探索，以求更新的方法，來解決冪指函數的求導問題，使冪指函數導數的求法更加簡單化。

參考文獻

[1] 同濟大學數學教研室.高等數學[M].高等教育出版社，2000.

[2] 周光明.冪指函數的求導公式[J].數學理論與應用，1999.19（4）：39-40.

[3] 華東師范大學數學系.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4] 樊志良.冪指函數的求導方法[J].中北大學學報，2006.27（1）：8-10.

[5] 李莉.冪指函數求導的一種新方法——輔助函數法[J].河北師范大學學報（教育科學版），2008.10（2）：59-60.

[6] 李宏杰.冪指函數導數的計算方法探討[J].科技創新導報，2015（14）：20-23.

[7] 劉坤.關于冪指函數求導法則的進一步討論[J].常州工學院學報，2004.17（6）：1-2.