簡析特殊的二元二次方程組的解法

查如琴

摘 要：雖然我們都知道解二元二次方程組的基本思路是消元或降次，但當我們拿到一個二元二次方程組時，往往由于方程中項數太多而無從下手，本文從如何觀察特殊的二元二次方程組的特點入手，尋找相應的解法。

關鍵詞：二元二次方程組 代入消元法

中圖分類號：O151 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1578（2017）09-0026-02

對于一般的二元二次方程組：

A x +B xy+C y +D x+E y+F =0 （其中A 、B 、C 不同時為零） ①A x +B xy+C y +D x+E y+F =0 （其中D 、E 不同時為零） ②

其解法通常先消去其中一個平方項（將①×C2- ②×C1消去 y2項），再用代入消元法得到一個一元四次方程，最后用費拉里求根公式（計算量大，公式復雜）解得其4個根，從而得到方程組最多4組解。對于具有某些特點的二元二次方程組，我們通過具體的例子來分析其特點及解法。

1 第I型的二元二次方程組

第I型的二元二次方程組特點為兩個方程中有一個是一元一次方程，即：

A x+B y+C =0 （其中A 、B 不同時為零） ③A x +B xy+C y +D x+E y+F =0 （其中A 、B 、C 不同時為零） ④

它的一般解法為由③解出x（或y）的表達式，代入④消去x（或y），用代入消元法得到一個一元二次方程，最后用求根公式解得其2個根，從而得到方程組最多2組解。

2 第II型的二元二次方程組

第II型的二元二次方程組特點為兩個方程都是二元二次方程，即：

A x +B xy+C y +D x+E y+F =0 （其中A 、B 、C 不同時為零） ⑤A x +B xy+C y +D x+E y+F =0 （其中A 、B 、C 不同時為零） ⑥

對于第II型的二元二次方程組，根據其特點，我們分5種情形分析討論：

（1）可以消去二次項；（例如1題）

（2）可以消去一個未知數；（例如2題）

（3）方程組中至少有一個能分解因式；（例如3題）

（4）可以消去常數項；（例如4題）

（5）可用代入消元法。（例如5題）

1題： y2+x-3y=4 ① y2-3x+y=0 ②

解：由于兩個方程中只含y2的二次項，不含xy、x2這樣的二次項，所以考慮消去y2項，再代入消元，最終求得原方程組的解為：

x1=0y1=-1 x2=4y2=3

也可以考慮消去x項，直接得到關于y的一元二次方程，解得y1=-1，y2=3，最終也求得原方程組的解為：

x1=0y1=-1 x2=4y2=3

2題： 2x2-4xy+3y2+3x-5y-5=0 ③ x2-2xy+y2+ x+ =0 ④

解：由于兩個方程中含x的所有項（即x2、xy、x）的系數對應成比例，所以考慮消去未知數x（將③-④×2即可消去未知數x），最終求得原方程組的解為：

x1=- y1=-1 x2=-3y2=-1 x3=-6y3=6 x4= y4=6

3題：6x2-11xy+3y2=0 ⑤ x2+y2+x-y=0 ⑥

解：由于方程⑤的左邊可以因式分解為（2x-3y）（3x-y），所以原方程組可分解為

（I）2x-3=0 x2+y2+x-y=0 （II）3x-y=0x2+y2+x-y=0

解這兩個方程組，最終求得原方程組的解有3組，即：

x1=- y1=- x2=0y2=0 x3= y3=

4題：x2-4y2=4 ⑦x2- xy+y2=2 ⑧

解：由于兩個方程都含x2、y2項，且沒有一次項（即沒有x、y這樣的一次項），所以考慮消常數項就可化為ax2+bxy+cy2=0的形式，若b2-4ac≥0，則ax2+bxy+cy2=0就可以分解成兩個一元一次方程，即：

A1x+B1y+C1=0（其中A1、B1不同時為零）

A2x+B2y+C2=0（其中A2、B2不同時為零）

將⑧×4-⑦即可消去常數項得：x2-5xy+6y2=0于是原方程組可分解為

（I）x-2y=0 x2- xy+y2=2 （II）x-3y=0 x2- xy+y2=2

解這兩個方程組（其中方程組（I）無解），最終求得原方程組的解有2組： x1=- y1=- x2= y2=

5題：x2-y2-5x+y+8=0 ⑨2xy-x-5y+1=0 ⑩

解：有一個方程只含xy這樣的二次項和x、y這樣的一次項，就可以考慮從這個方程入手，解出x（或y）的表達式，在代入另一方程就可消去一個未知數。由于方程⑩ 中只含xy這樣的二次項和x、y這樣的一次項，因此，就從這個方程入手，解出

y= ，再把y= 代入方程⑨中就可消去一個未知數y，化簡整理得到關于x的一元四次方程，最后用費拉里求根公式解得其4個根即x1=2，x2=3，x3= ，x4= ，最終求得原方程組有4組解：

x1=2y1=-1 x2=3y2=2 x3= y3= x4= y4=

也可以把方程⑨的左邊進行配方得（x- ） -（y- ） =-2，將y= 代入配方后的方程中，化簡整理得：

4（x- ） +8（x- ） - =0

解這個方程得x- =± ，x- =± ，即x1=2，x2=3，

x3= -1，x4= ，最終求得原方程組有4組解：

x1=2y1=-1 x2=3y2=2 x3= y3= x4= y4=

通過以上分析，今后我們看到一個二元二次方程組時，首先要觀察特點，能歸類的盡量按歸類的方法來解決，不能歸類的，也只能按常規方法來解（計算量大，公式復雜）。總而言之，要善于觀察特點，總結歸納，多加練習，才能提高解題速度與計算的準確性，做到舉一反三。

參考文獻：

[1] 何麗亞，江海洋，謝燕主編.數學（四川省省屬高校民族預科統編教材）[M].西南交通大學出版社.