求二面角的平面角的一種新方法

曾玉婷

摘 要：傳統法求二面角是作出二面角的平面角，構造的輔助線有時很難找；而坐標法求二面角寫起來比較繁瑣。本文用“等體積法”求二面角的平面角，擴大“等體積法”適用范圍，至此，等體積法可用于求點到面的距離、線面角、面面角。

關鍵詞：等體積法 二面角

中圖分類號：O123.2 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1578（2017）09-0024-02

在文[1]中給出求二面角的常用的九種方法，作為傳統法求二面角的平面角，筆者認為可以多加一種，等體積法求二面角的平面角。

1 等體積法求二面角的平面角原理

如圖所示，求二面角P-AB-CD的平面角。

記所求的二面角的平面角為α，則α∈[0，π].

過點P作于PH1⊥ABCD于H1，過點P作PH2⊥AB于H2，

則有sinα= 或sin（π-α）=

綜上可知sinα= ，具體的二面角，需通過觀察確定其取銳角或鈍角。

而關鍵的地方正是兩次“作高”，其中用等體積法求PH1是關鍵中的關鍵。

2 實際解析

（2009年全國I.文19）如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD= ，DC=SD=2，點M在側棱SC上，∠ABM=60°。

（1）證明：M是側棱SC的中點。

（2）求二面角S-AM-B的大小。

解：（1）略

（2）設二面角S-AM-B的平面角為α，過點S作于SH1⊥面 ABM于H1，作SH2⊥AM于H2，則有sinα= 。

等體積法求SH1： 由（1）知M是側棱SC的中點，

∴ dM-SAB= dC-SAB

易知S△SAB= ，S△ABC= ，S△AMB=

代入VC-SAB=VS-ABC，即有 S△SAB·dC-SAB= S△ABC·CD，求得

dC-SAB=

由等體積法知VS-AMB=VM-SAB，即 S△AMB·SH1= S△SAB·dM-SAB，可得SH1= 。

求SH2： 在等腰△SAC中，M為SC中點， ∴ AM⊥SC

由SH2作法可知：SH2=SM=

所以sinα= = ，觀察可知α為鈍角，故 cosα=-

即二面角S-AM-B的平面角為α=arccos（- ）。

（2013年課標全國II，理18）如

圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分

別是AB、BB1的中點， AA1=AC=CB=

AB。

（1）證明：BC1∥平面A1CD；

（2）求二面角D-A1C-E的正弦值。

（2008年全國I.文18）四棱錐

A-BCDE中，底面BCDE為矩形，側面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD= ，AB=BC。

（1）證明： AD⊥CE.

（2）設側面ABC為等邊三角形，求二面角C-AD-E的大小。

3 等體積法求二面角的意義

等體積法求二面角的平面角，實現用等體積法解決點到面的距離、三棱錐的高、線面角及二面角的統一。當然，等體積法的核心思想是同一個三棱錐頂點不同體積仍相同，但三棱錐的底面三角形面積不一定好求，因此等體積法求二面角的平面角存在一定的局限性。

參考文獻：

[1] 李永茂，劉文春.求二面角的平面角的九種方法[J].數學教學，1990，06：28-30.