第一型曲線積分的可積性條件及其應(yīng)用

汪林

摘 要 類比定積分可積性條件，給出了第一型曲線積分的上和與下和概念，并通過研究上和與下和的性質(zhì)，得到了第一型曲線積分的可積性條件（包括必要條件、充分條件和充要條件）及其性質(zhì)，完善了第一型曲線積分可積性理論。在文章最后給出了第一型曲線積分性質(zhì)的簡單應(yīng)用。

關(guān)鍵詞 第一型曲線積分 可積性條件 性質(zhì) 積分上和 積分下和

中圖分類號(hào)：0175.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.07.0010

Integrable Condition of the First Type Curve Integral and Its Application

WANG Lin

（Institute of Mathematics and Economics， Chongqing University of Arts and Sciences， Chongqing 402160）

Abstract Through analog integral integrability conditions， this paper gives concept of upper and lower sum for the first type curve integral. The integrability conditions including the necessary and sufficient conditions are obtained. Theory of the first type curve integral integrability is improved. At the end of the paper， a simple application of the integral property of the first type curve integral is given.

Keywords first type curve integral； integrable condition； property； upper sum； lower sum

0 引言

從現(xiàn)有關(guān)于第一型曲線積分的研究現(xiàn)狀來看，可以發(fā)現(xiàn)關(guān)于第一型曲線積分可積性條件的研究與證明較少。然而在定積分中，要計(jì)算一個(gè)函數(shù)的積分，運(yùn)用某些性質(zhì)，證明一些關(guān)于函數(shù)可積的問題是非常關(guān)鍵重要的。在此之前，必須弄清這個(gè)函數(shù)是否可積。這就說明研究它的可積性條件（包括它的必要條件，充要條件，充分條件）是非常必要的。第一型曲線積分作為積分學(xué)中的一個(gè)重要的積分類型，很有必要對(duì)它的可積性條件及性質(zhì)進(jìn)行深入的研究，以便對(duì)第一型曲線積分有更加全面的了解，在此基礎(chǔ)上，甚至可以將其推廣至第一型曲面積分上，再做更加深入透徹的研究，對(duì)它們之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化將會(huì)更加清楚。

1 可積的必要條件

定理1： 函數(shù) 在曲線上可積，則 在上必定有界。

證假設(shè) 在上無界，則對(duì)的任一分割，必存在屬于的某一曲線段， 使得 在 上無界。在的各個(gè)曲線段上任意取定點(diǎn) ，并記（其中表示的弧長）

對(duì)，因?yàn)?在上無界，故 ，使得 從而

這表明函數(shù) 的積分和的絕對(duì)值可以大于任意預(yù)先給定的正數(shù)，與 可積性定義矛盾，從而結(jié)論成立。

2 上和、下和的定義與性質(zhì)

函數(shù) 在曲線上是否可積，可以通過定義考察它的積分和是否能無限接近于某一個(gè)常數(shù)來判斷，但由于積分和的復(fù)雜性和那個(gè)常數(shù)不易預(yù)知，要想用定義來證明可積性在很多時(shí)候很有難度。下面給出的可積性準(zhǔn)則只與被積函數(shù)本身有關(guān)，而不涉及其積分的值。對(duì)于給出的性質(zhì)，介于篇幅有限，這里不予以詳細(xì)的證明，有興趣的讀者可參照華東師版教材第九章第六節(jié)的介紹。

定義1 設(shè) 在上可積，為對(duì)的任一分割。在每一個(gè)曲線段存在上、下確界：， 。稱關(guān)于分割的上和與下和，其中。

由定義1易見，對(duì)于任給的分割， 顯然有

與積分和相比較，上和與下和只與分割有關(guān)，而與點(diǎn)集無關(guān)。由不等式（*），就能通過討論上和與下和當(dāng)時(shí)的極限來揭示 的可積性。

性質(zhì)1：上和單調(diào)不增，下和單調(diào)不減，即對(duì)的任一分割及在下添加個(gè)新分點(diǎn)所得到的分割來說，有：

（1）

（2）

性質(zhì)2 若與為任意兩個(gè)分割，記與的所有分點(diǎn)合并在一起得到的分割為（重復(fù)的分點(diǎn)只取一次），則有

（3）

（4）

性質(zhì)3 對(duì)任意的兩個(gè)分割與，總有

性質(zhì)3表明任意一個(gè)分割的下和總不大于另一個(gè)分割的上和。因此所有下和有上界，所有上和有下界，從而分別存在上、下確界，將其記作：，分別記為在上的上、下積分。

性質(zhì)4：上、下積分是上和與下和在時(shí)的極限，即：

3 可積的充要條件

定理2 函數(shù)在上可積的充要條件是：在上的上積分與下積分相等。即。

證必要性設(shè)在可積，，由定義，對(duì)，當(dāng)時(shí)，有。又因與分別為積分和的上、下確界，所以當(dāng)時(shí)，，這就說明當(dāng)時(shí)，與都以為極限，由性質(zhì)4可得。

充分性設(shè)，由性質(zhì)4，，從而對(duì)，當(dāng)時(shí)滿足，從而函數(shù)在上可積，且。

定理3 函數(shù)在在可積的充要條件是：，存在對(duì)的一個(gè)分割，使得，即 。其中表示第個(gè)曲線段上的振幅，。

證由定理2易得。

4 可積的充分條件

定理4 若函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)在可積。

證由于在上連續(xù)，且為光滑可求長的曲線，故在上一致連續(xù)。即，對(duì)于上的任意兩點(diǎn)，，，只要，便有，所以只要對(duì)所作的分割滿足的條件下，在所屬的任一小曲線段上，都有，從而有，由定理3知函數(shù)在上可積。

5 可積的性質(zhì)

乘積性質(zhì) 若，為定義在平面上可求長度的曲線段上的函數(shù)，且、、都存在，則也存在。

證由于在上都可積，則在上都有界，不妨設(shè)

若，結(jié)論顯然成立。故不妨令。對(duì)，由于在上可積，則必定存在分割，使得 ，記，對(duì)于上的所屬每一個(gè)曲線段，有

于是。

則在 在上也可積。

6 應(yīng)用

例設(shè)函數(shù)在在上有定義，且對(duì)，存在上的可積函數(shù)，使得，。證明在上可積。

證 由已知，函數(shù)上可積，則對(duì)，存在一個(gè)分割，使得。又

可得到。由定理3可知，函數(shù)在上可積。

7 結(jié)論

本文通過類比一元函數(shù)定積分的可積性條件和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，給出了第一型曲線積分的上和與下和概念。第一型曲線積分的上和與下和的性質(zhì)完全類似于一元函數(shù)定積分的上和與下和。通過對(duì)第一型曲線積分的上和與下和的研究可以看出，第一型曲線積分的可積性條件（包括必要條件、充分條件和充要條件）及其性質(zhì)可以從一元函數(shù)定積分的可積條件和性質(zhì)進(jìn)行推廣，這為完善第一型曲線積分可積性理論有一定的參考價(jià)值。鑒于篇幅所限，第一型曲線積分的性質(zhì)沒有一一列出，有興趣的讀者可以仿照本文的推導(dǎo)進(jìn)行考慮，不再贅述。

基金項(xiàng)目：重慶文理學(xué)院科研項(xiàng)目[編號(hào)：XSKY2016030]

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