解析式y(tǒng)=kx+b與x=my+a的比較研究

楊愛萍

[摘 要] 直線的解析式常以y=kx+b的形式出現(xiàn)，但它不能表示斜率不存在的直線.由它可引申出形如x=my+a的直線解析式，它可以表示斜率不存在的直線，但它不能表示斜率為0的直線. 因此，當(dāng)我們確定問題情境中的直線斜率不為0時(shí)，可用x=my+a來表示直線，避免問題解決過程中的分類討論、降低計(jì)算的復(fù)雜程度.

[關(guān)鍵詞] 坐

眾所周知，解析幾何中的直線解析式通常以斜截式y(tǒng)=kx+b的形式出現(xiàn)，在具體運(yùn)用中一定要考慮到斜率是否存在，因此需要對直線進(jìn)行分情況討論. 考察學(xué)生的解決過程可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生有這樣一種解題慣性：拿到問題就設(shè)直線方程為y=kx+b，從不考慮直線斜率是否存在的情況. 從而易造成漏解的情況，在這種情況了誕生了形如x=my+a的直線解析式.

[?] 理論分析：x=my+a的相關(guān)內(nèi)容解析

以斜截式為例，當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，可以將y=kx+b作變形處理得到x=y-，令=m，-=a，可得到形如x=my+a的解析式，根據(jù)高等數(shù)學(xué)中極限的內(nèi)容可知：當(dāng)k→∞時(shí)，即=0，因此x=my+a的解析式可以表示斜率不存在的直線.但同時(shí)它也存在著自身的缺點(diǎn)，根據(jù)極限可知當(dāng)k→0時(shí)，即→∞，即m→∞，因此它不能表示斜率為0的直線. 在x=my+a的解析中參數(shù)m代表著直線斜率的倒數(shù)，是斜率的一種表示方式；參數(shù)a代表直線在x軸上的截距. 因此，當(dāng)問題情境中出現(xiàn)“直線在x軸上的截距為a或直線過（a，0）”時(shí)，我們可以考慮設(shè)直線解析式為x=my+a. 除了斜截式的設(shè)法外，此種解析式也有點(diǎn)斜式的設(shè)法. 當(dāng)問題情境中出現(xiàn)“直線過某點(diǎn)A（x0，y0）”時(shí)可設(shè)直線方程為x-x0=m（y-y0），一種特殊的情形是當(dāng)某點(diǎn)為（0，y0），直線方程可以表示成x=m（y-y0）的形式.

在實(shí)際的解題運(yùn)用這種特殊設(shè)法的過程中可以將普通形式中的相關(guān)結(jié)論遷移到這種形式上. 例如普通形式中當(dāng)l1和l2平行時(shí)有結(jié)論k1=k2，則在特殊形式中有m1=m2；普通形式中當(dāng)l1和l2垂直時(shí)有結(jié)論k1k2=-1，在特殊形式中亦有m1m2=-1. 利用這些結(jié)論可以在已知直線位置關(guān)系時(shí)，由一條直線的方程輕松寫出另一直線的方程. 再比如普通形式中有弦長公式AB=

x1-x2

=

y1-y2

，而在特殊形式中弦長公式的表示如下：AB=

y1-y2

=

x1-x2

.

[?] 實(shí)踐操作：x=my+a和y=kx+ b的比較研究

例（大豐區(qū)某中學(xué)高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：+=1（a>b>0）的焦距為2，一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)等邊三角形. （1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）橢圓C的右焦點(diǎn)為F，過F的兩條相互垂直的直線l1和l2，直線l1與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線l2與直線x=4交于T點(diǎn)，求TF∶PQ的取值范圍.

解：（1）略+=1.

（2）法一（設(shè)x=my+a）：根據(jù) “直線l2與直線x=4交于T點(diǎn)”可知l2一定不垂直于x軸，所以l1的斜率一定不為0，可設(shè)直線l1方程為x=my+1，將其代入橢圓方程+=1，消去x可得關(guān)于y的一元二次議程（3m2+4）y2+6my-9=0. 由根與系數(shù)關(guān)系可知y1+y2=-，y1y2=-，再弦長公式可推導(dǎo)出PQ=

y1-y2

==12；l2方程可表示為y=-m（x-1），令x=4，則y=-3m，所以TF==3，所以=3·=

3+

. 令=t（t≥1），所以=

3t+

，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知3t+在[1，+∞）上單調(diào)增，所以

min=1，即的取值范圍為[1，+∞）；

法二（設(shè)y=kx+b）：①當(dāng)l1垂直于x軸時(shí)，PQ為橢圓通徑其長度為3，此時(shí)l2在x軸上TF的長度為3，所以TF∶PQ=1；②當(dāng)l1不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線l1的斜率為k，則直線l2的斜率為-，所以直線l1的方程為y=k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立，整理后可得一元二次方程（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，所以x1+x2=，x1x2=. 根據(jù)弦長公式可知：PQ=·=，l2的方程為y=-（x-1），令x=4，則y=-，所以TF==3，所以=，化簡后可得=·=

+

. 令=t（t>1），換元后原式變?yōu)?

3t+

. 由于3t+在（1，+∞）上單調(diào)增，所以>1，即的取值范圍為（1，+∞），綜合①②可知的取值范圍為[1，+∞）.

對比以上兩種解法可以發(fā)現(xiàn)，設(shè)形如x=my+a的解析式在計(jì)算復(fù)雜程度和規(guī)避錯誤風(fēng)險(xiǎn)兩個(gè)方面有明顯的優(yōu)勢. 首先，就計(jì)算復(fù)雜程度而言，從兩者消元后所得方程的復(fù)雜度就可窺見哪一種方法的計(jì)算難度更大了，因?yàn)橄蟮姆匠虖?fù)雜程度就決定著利用根與系數(shù)關(guān)系和弦長公式求解弦長表達(dá)式的難易. 通過比較不難發(fā)現(xiàn)利用x=my+a化簡后的表達(dá)式（3m2+4）y2+6my-9=0顯然更為簡潔.因此利用x=my+a求解在計(jì)算復(fù)雜程度上更勝一籌. 其次，就規(guī)避錯誤而言，在利用y=kx+b解決問題時(shí)，學(xué)生在思維上存在著一定的慣性，即拿到問題就直接設(shè)直線方程為y=k（x-1），他們往往不會去思考斜率不存在的情況，從而造成本題的漏解，而在利用x=my+a時(shí)可以避免討論斜率不存在的情況（當(dāng)然前提是能確定直線斜率不為0，而在考慮斜率不存在與斜率為0的問題上，學(xué)生更易忽略的是斜率不存在的情況）. 綜上所述，我們可以認(rèn)為形如x=my+a的解析式是由y=kx+b通過變形而來，但卻有著避免分類討論和降低計(jì)算復(fù)雜程度的功用.