成立問(wèn)題的殺手锏

夏正勇

[摘 要] 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題是各地高考卷中的熱點(diǎn)問(wèn)題，經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn).這類問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的綜合解題能力，思維的靈活性、創(chuàng)造性方面要求很高.本文針對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行剖析，促進(jìn)知識(shí)的有效復(fù)認(rèn)和解決問(wèn)題方法的創(chuàng)新生成.

[關(guān)鍵詞] 成立問(wèn)題；分離參數(shù)；分類討論；洛比達(dá)法則

恒成立與能成立問(wèn)題（存在性問(wèn)題）一直是函數(shù)知識(shí)的熱點(diǎn)內(nèi)容，都是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，其中求參數(shù)的取值范圍就是一類重點(diǎn)考查的問(wèn)題. 對(duì)于此類問(wèn)題，我們常用的一種方法是分離參數(shù)，再利用求導(dǎo)的方法解決，但此法應(yīng)用有局限，有時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)求導(dǎo)后的函數(shù)值不存在.這時(shí)我們應(yīng)轉(zhuǎn)變戰(zhàn)略，從其他角度入手，比如洛必達(dá)法則.

[?] 發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

典例1：（2017屆高三期末鎮(zhèn)江卷）已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=λ（x2-1）（λ為常數(shù)）.

（1）已知函數(shù)y=f（x）與y=g（x）在x=1處有相同的切線，求實(shí)數(shù)λ的值；

（2）如果λ=，且x≥1，證明：f（x）≤g（x）；

（3）若對(duì)任意x≥1時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

原解：略. 原解在處理第（3）問(wèn)時(shí)，用分類討論的方法處理，但比較煩瑣，也較難想到.現(xiàn)采用分離參數(shù)的方法處理如下.

另解：（3）當(dāng)x=1時(shí)，不等式恒成立，此時(shí)λ∈R；

當(dāng)x>1時(shí)，問(wèn)題等價(jià)于λ≥

max；

令g（x）=（x>1），則g′（x）=，令h（x）=-x2lnx-lnx+x2-1（x>1），則h′（x）=-2xlnx+x-，h″（x）= -2lnx+-1. 因?yàn)閤>1，所以h″（x）<0. 知h′（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，h′（x）

問(wèn)題1：函數(shù)g（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，因此在x=1處取得最大值，而x=1取不到；

問(wèn)題2：x=1不能代入函數(shù)，代入的話分母為零，無(wú)意義.

思考：上述兩個(gè)問(wèn)題，問(wèn)題2才是關(guān)鍵.若函數(shù)g（x）在x→1時(shí)，g（x）→+∞，則該題無(wú)解，正常情況下出題人不會(huì)這樣設(shè)計(jì)問(wèn)題的. 那么只有一種可能就是函數(shù)g（x）在x→1時(shí)，g（x）存在逼近值，也就是極限. 如果能求出這個(gè)極限，那么這個(gè)問(wèn)題就迎刃而解了.

[?] 尋找對(duì)策

回過(guò)頭來(lái)重新審視一下函數(shù)g（x）=（x>1），當(dāng)把x=1分別代入分子和分母后，會(huì)發(fā)現(xiàn)分子分母都是0. 筆者研究發(fā)現(xiàn)利用分離參數(shù)的方法不能解決的這部分問(wèn)題的普遍原因都是出現(xiàn)了“”型的式子，而這就是高等數(shù)學(xué)中的不定式問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的有效方法就是洛必達(dá)法則.

【法則1】若函數(shù)f（x）和g（x）滿足下列條件：（1）f（x）=0及g（x）=0；

（2）在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f（x）與g（x）可導(dǎo)且g′（x）≠0；

（3）=l，那么==l.

【法則2】若函數(shù)f（x）和g（x）滿足下列條件：（1）f（x）=∞及g（x）=∞；

（2）在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，f（x）與g（x）可導(dǎo)且g′（x）≠0；

（3）=l，那么==l.

[?] 嘗試成功

研究函數(shù)g（x）=（x>1），完全符合【法則1】. 由洛必達(dá)法則知，g（x）====，故λ≥；綜上，可知實(shí)數(shù)λ的取值范圍是

，+∞

. 順利解決此問(wèn)題.

典例2：已知函數(shù)f（x）=x（ex-1）-ax2，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：當(dāng)x=0時(shí)，a∈R；當(dāng)x>0時(shí)，問(wèn)題等價(jià)于≤

min. 記g（x）= （x>0），則g′（x）=，令h（x）=（x-1）ex+1（x>0），則h′（x）=xex>0，因此h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）>h（0）=0，從而g′（x）>0，所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.

由洛必達(dá)法則知，g（x）====1，故a≤1；

綜上，可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1].

小結(jié)：這兩題用分離參數(shù)法解題過(guò)程中都遇到了“當(dāng)x=1（x=0）時(shí)，函數(shù)g（x）值沒(méi)有意義”這一問(wèn)題，很多考生會(huì)陷入困境. 如果考前對(duì)學(xué)生講授洛必達(dá)法則的應(yīng)用，再通過(guò)強(qiáng)化訓(xùn)練就能掌握解決此類難題的這一有效方法，同時(shí)也可以避免學(xué)生用分離參數(shù)法做到這一步卻走不下去，進(jìn)而否定此解法，前功盡棄.

[?] 提煉升華

通過(guò)以上兩道例題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)用洛必達(dá)法則解決的試題應(yīng)滿足：

（1）不等式可以進(jìn)行分離參數(shù)；（1）分離參數(shù)后，可以用導(dǎo)數(shù)確定另一端新函數(shù)的單調(diào)性；（3）出現(xiàn)“”型式子；當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能使用洛必達(dá)法則，濫用會(huì)出錯(cuò)，這時(shí)應(yīng)從另外途徑求極限.當(dāng)然，高中階段的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題不會(huì)出現(xiàn)如此復(fù)雜局面.

典例3：（2017屆高三期末常州卷）已知函數(shù)f（x）=ax2lnx+bx+1.

（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x-2y+1=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若a=2，且關(guān)于x的方程f（x）=1在

，e上恰有兩個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（3）若a=2，b=-1，當(dāng)x≥1時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）≥t（x-1）2恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

原解：略.

原解在處理第（3）問(wèn)時(shí)計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，學(xué)生難以把握.現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下.

另解：（3）當(dāng)a=2，b=-1時(shí)，f（x）=x2lnx-x+1. 當(dāng)x=1時(shí)，不等式恒成立，此時(shí)t∈R；

當(dāng)x>1時(shí)，問(wèn)題等價(jià)于t≤

min.

令g（x）=（x>1），則g′（x）=. 令h（x）=-2xlnx+x2-1（x>1），則h′（x）=2x-2lnx-2，h″（x）=2-=. 因?yàn)閤>1，所以h″（x）>0. 知h′（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，h′（x）>h′（1）=0；知h（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，h（x）>h（1）=0；所以g′（x）>0，g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù).

由洛必達(dá)法則知，g（x）===.

問(wèn)題：使用了一次洛必達(dá)法則后，發(fā)現(xiàn)中仍不能代入x=1.

對(duì)策：當(dāng)把x=1分別代入的分子和分母后，會(huì)發(fā)現(xiàn)分子分母仍然都是0，并且符合【法則1】，那么就可以再次使用洛必達(dá)法則.

由洛必達(dá)法則知，g（x）====，故t≤.

綜上，可知實(shí)數(shù)t的取值范圍是

-∞，

.

典例4：若不等式sinx>x-ax3對(duì)于x∈

0，

恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：當(dāng)x∈

0，

時(shí)，原問(wèn)題等價(jià)于a>

max.

令f（x）=，x∈

0，

，則f′（x）=. 令g（x）=3sinx-xcosx-2x，x∈

0，

，

則g′（x）=2cosx+xsinx-2，g″（x）=xcosx-sinx，g?（x）=-xsinx<0，所以g″（x）在

0，

上單調(diào)遞減，g″（x）

0，

上單調(diào)遞減，g′（x）

0，

上單調(diào)遞減，g（x）

所以f′（x）<0，因此f（x）=在

0，

上單調(diào)遞減.

由洛必達(dá)法則知，f（x）=====，故a≥.

綜上，可知實(shí)數(shù)t的取值范圍是

，+∞

.

小結(jié)：通過(guò)以上兩個(gè)例題的分析，我們可以發(fā)現(xiàn)只要條件符合，洛必達(dá)法則可以連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.在例4中，雖然在判斷新函數(shù)的單調(diào)性時(shí)最后都運(yùn)用了三階導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)的過(guò)程中感覺(jué)前路迷茫，其實(shí)不用擔(dān)心，高中階段的這種問(wèn)題中的函數(shù)必然存在極限，所以只要確定了單調(diào)性就可以放心使用洛必達(dá)法則了.

[?] 總結(jié)成果

利用洛必達(dá)法則求未定式的極限是微分學(xué)中的重點(diǎn)之一，在解題中應(yīng)注意：

（1）將公式中的x→a，x→∞換成x→+∞，x→-∞，x→a+，x→a-洛必達(dá)法則也成立.

（2）洛必達(dá)法則可處理，，0·∞，1∞，∞0，00，∞-∞型.

（3）在著手求極限以前，首先要檢查是否滿足，，0·∞，1∞，∞0，00，∞-∞型定式，否則濫用洛必達(dá)法則會(huì)出錯(cuò). 當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極限.

（4）若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

對(duì)成立問(wèn)題中的求參數(shù)取值范圍，參數(shù)與變量分離較易理解，但有些題中的求分離出來(lái)的函數(shù)式的最值有些麻煩，利用洛必達(dá)法則可以較好地處理它的最值，是一種值得借鑒的方法. 但是也不可能涵蓋所有情況，在解題過(guò)程中，只有根據(jù)題目，靈活運(yùn)用各種所學(xué)的知識(shí)，才能方便解題，提高解題效率.