課本習題的示范引領作用

2017-09-01 04:50:45張春雷

數學教學通訊·高中版 2017年8期

張春雷

[摘要] 關注教材，提高教材的使用效率，更主要的是不要脫離教材的教學和復習，真正領悟教材是教學和考試之本. 對比教材和高考試題的相似度，讓師生更明確方向，有的放矢；活用教材，理解知識的內涵和外延.

[關鍵詞] 習題；高考題；對比；教材；知識體系；整合與延伸

不論是新知識的學習還是高三復習，一定要注重基礎知識、基本技能和基本方法. 縱觀高考試題，不難發現多題似曾相識. 縱橫不出方圓，萬變不離其宗，就是說，盡管形式上變化多端，其本質或目的不變，殊途同歸. 高考試題多源自課本上例題或習題的重新整合，課本題大多蘊含著豐富、深刻的背景，實踐證明，以課本為素材組織的高考復習不僅不會影響高考的成績，而且是提高高考成績非常有效的途徑.

現僅從圓錐曲線這一知識點，對比習題與高考試題，說明課本習題的示范引領作用，每個對比僅舉幾例.

對比一：人教B版選修2-1第47頁第7題. 已知橢圓的兩個焦點為F1（-2，0），F2（2，0），過F且與坐標軸不平行的直線l與橢圓相交于M，N兩點，如果△MNF2的周長為12，求這個橢圓的方程.

簡析：考查橢圓的定義，

MF1

MF2

=2a，

NF1

NF2

=2a，

MF1

MF2

NF1

NF2

=4a，恰好為△MNF2的周長，故4a=12，a=3，已知c=2，由b2=a2-c2=1，這個橢圓的方程為+y2=1.

【2011新課標理第14題】在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F2在x軸上，離心率為. 過F1的直線l交C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么C的方程為________.

本題比課本上的習題多了一個離心率e=，4a=16，a=4，c=2，b=2，橢圓C的方程為+=1 .

【2014大綱理第6題】已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右焦點為F1，F2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為4，則C的方程為（）

[A. +=1 ] B. +y2=1

C. +=1 D. +=1

這兩個題是同一知識點，不同版本教材在不同年份的考查，只是在原題的基礎上多加了離心率，高頻考點不回避，可見命題者的良苦用心，更能說明課本的引領示范作用.

對比二：人教B版選修2-1第48頁第2題：已知點A（1，1），而且F1是橢圓+=1的左焦點，P是橢圓上任意一點，求

PF1

的最小值和最大值.

簡析：設F2是橢圓+=1的右焦點，

PF1

PF2

=2a=6，

PF1

=6-

PF2

，

PF1

=6-

PF2

=6+（

PF2

），直線AF2與橢圓交點P1，P2為所求的最大值或最小值的對應點（可借助三角形兩邊之差與第三邊的關系）.

PF1

的最小值和最大值分別為6-，6+.

人教B版選修2-1第66頁第3題：（1）已知拋物線y2=4x，P是拋物線上一點，設F為焦點，一個定點為A（6，3），求

的最小值，并指出此時點P的坐標.

簡析：設PQ垂直準線于Q，則

，

≥

，所以AQ垂直于準線，即：A，P，Q共線時，

的最小值為7，此時點P的坐標

，3

【2009遼寧理第16題】已知F是雙曲線-=1的左焦點，A（1，4），P是雙曲線右支上的動點，則PF+PA的最小值為__________.

簡析：c=4，F（-4，0），右焦點F′（4，0），由雙曲線的定義

PF′

=2a=4，所以PF+PA=4+

PF′

≥4+

AF′

=9. 最小值為9.

不難發現，三道題的階梯策略有共性，均是利用定義轉化為共線問題.所以，在做題的時候不要為了做題而做題，要不斷地總結共性的東西，把知識歸類，尋找合適的解題方法. 這樣就不至于做題沒有思路了.

對比三：人教B版選修2-1第70頁習題2-5A第1題：已知M（4，2）是直線l被橢圓x2+4y2=36所截得的線段AB的中點，求直線l的方程.

簡析：利用“點差法”，設直線l與橢圓交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓方程得

=1，

=1，兩式相減得+=0. 由M（4，2）為線段AB的中點，可知

=4，

=2，代入上式可求直線l的斜率，進而求出直線l的方程為x+2y-8=0.

本題也可以設直線l的方程，與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系求解.

【2013新課標1理第10題】已知橢圓E：+=1（a>b>0）的右焦點為F（3，0），過點F的直線交橢圓于A，B兩點. 若AB的中點坐標為（1，-1），則E的方程為（）

A. +=1 B. +=1

C. +=1 [D. +=1]

【2010新課標理第12題】已知雙曲線E的中心為原點，F（3，0）是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且AB的中點為N（-12，-15），則E的方程為（）

A. -=1 [B. -=1]

C. -=1 D. -=1

可以看出解法比較常規，并且具有針對性.

對比四：人教B版選修2-1第71頁習題2-5B第4題：過拋物線y2=2px（p>0）的焦點F作傾斜角為的直線，交拋物線于A，B兩點，點A在x軸的上方，求的值.

簡析：設直線AB的方程為y=x-，與拋物線方程聯立，消去x，得y2-2py-p2=0. 設A（x1，y1），B（x2，y2），則有y1+y2=2p，y1y2=-p2，+=-6，+-6=0.

令t==->1，則t2-6t+1=0，t==3+2.

我們把傾斜角換成θ，它又有一般性結論：

AB的傾斜角為θ，

AA1

A1E

=p+

·cosθ，

=，同理

=，

繼續探討又能得到如下結論：弦AB被焦點分成m，n兩部分，則+=；y2=2px（p>0）的焦點F，點M在拋物線上，延長MF與直線x=-交于點N，則+=；S△OAB=等等.

如果上述結論非常熟練，下面高考題就迎刃而解了.

【2014全國2高考理第10題】設F為拋物線C：y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30° 的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為（）

A. B.

C. [D. ]

【2012重慶理第14題】過拋物線y2=2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若AB=，AF

對比五：人教B版選修2-1第70頁習題2-5A第2題：已知橢圓+=1，點A，B分別是它的左、右頂點. 一條垂直于x軸的動直線l與橢圓相交于P，Q兩點，又當直線l與橢圓相切于點A或點B時，看作P，Q兩點重合于點A或點B，求直線AP與直線BQ的交點M的軌跡.

簡析：A（-2，0），B（2，0），P（x0，y0），Q（x0，-y0），

直線AP的方程為y=（x+2）①，

直線BQ的方程為y=（x-2）②.

由①×②，得y2=（x2-4）③，P（x0，y0）在橢圓上+=1④.

由③④得到直線AP與直線BQ的交點M的軌跡方程-=1.

所以直線AP與直線BQ的交點M的軌跡是以（-，0），（，0）為焦點，實軸長為4的雙曲線.

【2012遼寧文第20題】如圖1，動圓C1：x2+y2=t2，1

簡析：A1（-3，0），A2（3，0），A（x0，y0），B（x0，-y0），

直線AP的方程為y=（x+3）①，

直線BQ的方程為y=（x-3）②.

由①×②，得y2=（x2-9）③，A（x0，y0）在橢圓上+y=1④.

由③④得到直線AA1與直線A2B的交點M的軌跡方程-y2=1（x<-3，y<0）.

上題就是習題的翻版. 立足課本，追根溯源.

由于篇幅所限，就不再一一對比.總之，脫離課本的教學與復習，不對課本提供的知識進行深化，大搞題海戰術，學生的收獲終究不大：對課本的知識一知半解，沒有達到一種整體的高度，能力培養不出來，信心樹立不起來，不愛探究，更談不上舉一反三了. 我們關注課本，把課本的知識掌握好，不斷擴大自己的視野，不斷總結，教師教學、學生高考都能夠取得優異的成績.