輔助角公式的課堂教學處理與思考

趙衛群

[摘 要] 公式教學中教師應重視學生的生活經驗，關注學生的原有知識基礎和思維基礎，利用設計陷阱，經歷“試誤”，發現“錯誤”，小組討論等方式讓學生經歷知識探究的艱難過程. 最后加上適度的數學訓練幫助學生加深對數學方法、規律的理解，達到增強記憶的目的. 至于教學實際中哪種方法更能減少學生的錯誤，這還需要教師多比較、多思考、多實踐.

[關鍵詞] 輔助角公式；教學處理；靈活運用

輔助角公式在三角函數式的化簡、求最值、周期、單調區間時，使用頻率比較高，因此要求學生熟練地掌握輔助角公式的運用.對于形如y=asinx+bcosx的三角函數式，可變形為：asinx+bcosx=sin（x+φ）（*），其中φ由cosφ=，sinφ=來確定.通常稱式子（*）為輔助角公式. 使用輔助角公式的難點主要是輔助角φ的大小確定，雖然公式中給出了φ的確定方法，但在實際運用中學生及其容易犯錯. 更何況筆者所接觸的是因各種原因未能考上普高而選擇上職業高中的學生，他們的領悟能力、接受能力和記憶能力均稍遜一些. 根據江蘇省對口單招考綱要求，結合這些高中學生的實際情況，教學中教師要把握好度. 下面談談筆者對輔助角公式的教學處理與思考.

[?] 學生熟悉公式的來龍去脈

y=asinx+bcosx=

·sinx+cosx

，因為

+

=1，所以存在角φ，使得cosφ=，sinφ=，則y=（sinx·cosφ+cosx·sinφ）=sin（x+φ）. 教學中教師通過以上講述，使學生在認知上能理解構造角φ，目的是轉化為角x和角φ和的正弦，然后根據兩角和的正弦公式寫成sin（x+φ）.

不管我們面對的學生能力層次如何，在公式教學過程中，公式的推導要舍得花時間. 一是強調學生對認知過程的經歷和體驗，二是培養學生學會探究的一種數學基本素養，三是進一步發展學生的思維，提高學生的解題能力. 教學中不能過于形式化，更不必讓學生死記硬背公式.

[?] 教學處理方法與思考

處理方法一：設θ是銳角，得sinθ=，cosθ=的值，由此可求得銳角θ；再判斷點（a，b）的象限；最后根據φ=θ（點在第一象限），

π-θ（點在第二象限），

π+θ（點在第三象限），

-θ（點在第四象限）（*），求得φ的值.

這種方法的優點是化簡后的表達式中正弦型函數的系數永遠是正數，且整體結構不變，主要是括號內輔助角φ的不同. 這種做法對后續求正弦型函數的相關性質有利. 但在教學中要提醒學生注意sinx的系數是a，cosx的系數是b，兩者不能混淆. 缺點是由于中職學生的自身原因記不住上述求φ的規律，難點是無法理解明明是求φ，為什么要先求θ.在此說不清道理可以不說，以后再說. 就像小學生背古詩詞，他未必懂，但隨著閱歷的增長，他對詩詞的理解會越來越深刻.也就是說用這種方法處理時讓學生感覺到求出θ再求φ很方便.

處理方法二：設θ是銳角，得tanθ=

的值，由此可求得θ；再判斷點（a，b）的象限；最后根據規律（*），求得φ的值.

這種解法與解法一基本相似，主要不同在于求角θ時，用的是正切函數. 此時學生只要借tan=，tan=1，tan=，即可得角θ，且不容易混淆與. 雖然在解法上只做了稍稍改變，但卻大大減少了學生的錯誤. 當然難點還是需要學生記憶tanθ=

及根據象限求φ的方法規律.

處理方法三：若a，b同正，則y=asinx+bcosx=sin（x+φ）；若a，b同負，則y=asinx+bcosx=-sin（x+φ）；若a正，b負，y=asinx+bcosx=sin（x-φ）；若a負，b正，y=asinx+bcosx=-·sin（x-φ）；前的正負號與系數a的性質符號是一致的，其中由tanφ=

得銳角φ. 如cosx-sinx=-sinx+·cosx=-（sinx-cosx）=-2sin（x-φ）. 因為tanφ=，所以銳角φ=，因此cosx-sinx=-2sin

x-

. 根據此法化簡-sinx-cosx=-（sinx+cosx）=-sin

x+

.

這種解法的優點是求得輔助角φ很簡單，只要根據tan=，tan=1，tan=，即可求得銳角φ，無需判斷點（a，b）象限，也就不必記憶規律（*）了. 從而大大降低了輔助角φ的計算錯誤. 但要注意的是提醒學生要注意兩個符號，一是sin（x±φ）的系數可正可負，實際操作時把含sinx的這部分寫在前面，若sinx的前面是負號，則添一個含負號的括號；若是正號，則無需添括號. 二是括號內的符號可加可減，與添括號后cosx前的符號一致. 這種做法雖然正確率高，但過于程式化，程式化后容易形成思維定式、套路.

處理方法四：設φ是銳角，asinx+bcosx=

sinx+cosx

，或者asinx-bcosx=

sinx-cosx

，目的使之轉化為兩角和、差的正弦或余弦，即sin（x±φ），sin（φ±x）或cos（x±φ），cos（φ±x）.

這種解法較靈活，無須死記硬背規律，主要是熟練掌握兩角和差的正弦公式sin（α±β）=sinαcosβ+cosαsinβ和余弦公式cos（α±β）=cosαcosβ?sinαsinβ，記住幾個簡單的特殊的三角函數值即可. 如cosx-sinx=

cosx-sinx

=

sincosx-cossinx

=sin

-x

，cosx-sinx=

cosx-·sinx

=

coscosx-sinsinx

=cos

+x

. 學生容易出現的錯誤是將兩角的順序搞錯，錯誤的化簡為sin

x-

. 減少這種錯誤的方法是建議學生注重轉化過程，不要漏步驟.這種解法大大加深了學生對公式轉化的理解，鞏固了已有知識，提高解決問題的能力，不知不覺中滲透了數學思想，摒棄了那種無意義的機械訓練.

輔助角的教學處理辦法很多，以上四種方法比較適合中職對口單招教學. 公式教學中教師應重視學生的生活經驗，關注學生的原有知識基礎和思維基礎，利用設計陷阱，經歷“試誤”，發現“錯誤”，小組討論等方式讓學生經歷知識探究的艱難過程. 最后加上適度的數學訓練幫助學生加深對數學方法、規律的理解，達到增強記憶的目的. 至于教學實際中究竟哪種更適合學生，哪種方法更能減少學生的錯誤，這還需要教師多比較、多思考、多實踐. 在此引用陳光立老師的一句話作為結束語：“教之道在于度，學之道在于悟.”