MPCK視角下的數學專題教學

萬贏銀

[摘 要] 專題教學作為課堂教學內容的重要組成部分，如何組織專題教學值得深入研究. 本文從MPCK的視角縱觀專題教學的出發點、立足點、落腳點，通過教學案例，闡述MPCK視角下專題教學的實踐與思考.

[關鍵詞] MPCK，數學專題，問題驅動，數學素養

數學專題是數學課堂教學活動的重要組成部分，它以具有一定綜合性的內容為載體，以形成知識網絡為指向，以提升學生綜合運用知識解決數學問題、提升能力為目的，具有一定的操作性、指向性和實效性.

當前專題教學中，“大容量+大范圍”的現象較為普遍，其結果是學生沒有真正理解數學知識，不能抓住其本質，在解決問題時束手無策、無從入手. 存在這種現象的主要原因有：①有些教師沒有透徹地理解問題的實質，只是通過一些例習題帶過，缺乏深入講解，導致學生學習效果甚微；②對專題教學認識不夠、定位不準，以為學生會機械地模仿就能解題；③不了解學生的認知規律，以為大容量、大范圍、快進度就能帶來高效率. 這樣的專題教學往往失去了數學的本質，學生不知道數學思想源自何處、有何作用，自然也就對數學學習失去了興趣.

一個具有優秀MPCK的教師在教學中會讓學生充分地認識到：數學專題不僅僅是“題海戰術”，在實踐和應用中更蘊含著“火熱的思考”.

[?] MPCK的內涵與結構

20世紀80年代，美國學者舒爾曼提出了“缺失的范式”，給出了PCK概念，為人們進一步理解教與學提供了更加廣闊的視角.就數學教育而言，掌握豐富的數學學科知識并不能有效地促進教師專業發展，教師更需要具備MPCK，即具備數學學科知識（MK）、一般教學法知識（PK）、有關數學學習的知識（CK）以及教育技術知識（TK），才能將學科知識有效地傳遞給學生.

1. MPCK視角下的數學專題教學

數學專題不僅是對知識的深化和方法的拓展，更是對數學思想方法的探索過程的辨析與能力的提高. 因此，在數學專題教學中要突出學生的主體性，充分讓學生參與教學過程，使學生生動、活潑、主動地學習.教師應從MK、PK、CK、TK的角度開展數學專題教學，讓學生成為解題方法的參與者和發現者.

從MK的角度分析，教師應具備豐富、系統的數學學科知識. 在專題教學中，教師應做到以下幾點：

①“問題是數學的心臟.”專題教學中要選擇一些知識點覆蓋面廣、解題方法多、思維含量高的習題作為素材，按照“知識問題化、問題層次化”的設計思路組織課堂活動.

②“學而不思則罔，思而不學則殆.” 要在專題教學中適時地歸納總結，挖掘問題中蘊含的數學思想，引導學生在建構基礎知識的同時奏響數學思想的“主旋律”.

③教師在專題教學中要注重知識的自然生成，潛意識地進行教學預設，激發學生的學習興趣，有助于學生知識體系的建構.

從PK的角度分析，教師應選擇恰當的教學方法組織教學，完成既定教學任務. 數學專題教學一般可按照以下步驟進行：①創設問題情境，引入專題；②形成解題策略，分析解題困境；③探究優化方法，啟發、引導問題解決；④引申、變式、探究、研討；⑤總結、歸類反思方法.在具體的教學中適時調整，以問題的發現、探究和解決為中心，通過發現、分析、創造性地解決問題去激發學生的求知欲、創造欲和主體意識.

從CK的角度分析，教師應充分把脈學生的知識水平、學習能力，確定教學專題做到因材施教，設計符合學情的教學活動，在活動中幫助學生夯實基礎，又能突破專題難點.

從TK的角度分析，教師應根據專題教學的特點，合理運用現代教育技術輔助教學，運用現代教育技術直觀、動態地呈現數學規律、數學現象. 此外，現代教育技術的應用也為提高專題復習課堂的效率提供了技術支撐.

[?] MPCK視角下的數學專題教學案例分析

以高三數學教學專題“三角形中的三角函數”為例.

1. 課堂引入——專題教學以問題驅動為出發點

《普通高中數學課程標準（實驗）》強調“要讓學生在現實、生動具體的情境中和已有知識的基礎上體驗和理解數學知識”. 因此，在專題教學中創設適當的問題情境，讓學生感受數學，激發源動力.

引例1：（2015年江蘇卷）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°，求BC的長及sinC.

引例2：（2013年全國卷Ⅱ）△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b=2，B=，C=，求△ABC的面積.

引例3：△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足acosB-bcosA=c，求的值.

引例4：在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC， sin∠BAC=，AB=3，AD=3，求BD的長.

評析：（1）從MK和PK的角度來看，本環節的目的是讓學生通過一些問題感知“三角形中的三角函數”專題中常見的處理策略：在一個或多個三角形中運用正、余弦定理進行邊角互化解三角形，從而完成對三角形中的三角函數專題的第一次認識.

（2）從CK的角度來看，根據認知心理學理論，學生對知識的認知將經歷感知、推理、創造的過程. 通過創設問題情境，幫助學生建立與新知識聯系的橋梁，形成完整的知識體系. 同時激發學生的學習興趣，讓學生了解專題產生的背景以及它的作用，懂得數學知識并不是獨立的，而是一脈相承的. 因此，以問題為驅動，引入課題是專題教學有效的切入點.

2. 探索體驗——專題教學以學生探究為立足點

《普通高中數學課程標準（實驗）》指出，課堂教學要善于激發學生“自學、互學、群學”的學習熱情，專題教學中常通過設計一些問題讓學生進行探究交流.

例1：在△ABC中，AB=4，AD為BC邊上的中線，∠BAD=30°，cos∠ADC=，求AC的長.

通過分析，利用正、余弦定理可以解決這個問題，學生主要的困惑在于面對多個三角形如何靈活地選用正、余弦定理. 為突破這個難點，可再設計一組問題串：

問題1：在△ABC中，AD為BC邊上的中線，且∠BAC=120°，BC=2，AD=3，求AC的長.

問題2：在△ABC中，AD為BC邊上的中線，且AB=4，AC=2，∠BAD=30°，求BC的長.

問題3：在△ABC中，∠A=120°，AD為∠A的平分線，且BC=2，BD=，求AC的長.

通過這幾個問題的討論、交流，引導學生深化對知識的理解，提升轉化和化歸的能力.

評析：（1）從MK和PK的角度來看，本環節的目的是讓學生深化對知識的理解和運用，提升分析問題、解決問題的能力. 在設計時，注重學生的課堂參與度，努力搭建平臺引導學生自主探究、自主提升，充分體現學生的主體性，讓探究成為專題教學的立足點.

（2）從CK的角度來看，根據皮亞杰的認知發展階段論，高中學生已具備較高的認知水平，通過第一環節的學習已經初步掌握了利用正、余弦定理解決三角形中的邊角問題，但是面對多個三角形如何靈活地選用正、余弦定理還是存在困惑，因為把復雜的問題轉化、化歸為簡單的問題，對高中生來說難度較大.

（3）從PK和TK的角度來看，利用現代教育技術手段呈現知識的自然生成，而要使知識得到有效的建構，有賴于學生主動探索與思考. 教師可適當地選擇啟發式、探究式等教學策略，引導學生積極地思考，自主探究，化解問題的難點.通過設計幾個問題串把學生的思維推向深化，加深他們對知識的理解和運用.

3. 應用提煉——專題教學以思想方法為落腳點

“學而不思則罔，思而不學則殆.”專題教學不僅僅是單純的習題教學，更重要的是在問題解決過程中凸顯解題策略和數學思想方法.

例2：已知在△ABC中，AB邊上的高與AB邊的長相等，求++的最大值.

解：不妨設BC=a，AC=b，AB=c，AB邊上的高為h，根據正弦定理及三角形的面積可得ch=absinC. 又h=c，所以c2=absinC，即c2=absinC.

由余弦定理知，c2=a2+b2-2abcosC，所以a2+b2=absinC+2abcosC，從而++====2sinC+2cosC=2·sin

C+

.

所以，當C=時取得最大值2.

思維拓展：

1. （2008年江蘇高考第14題）已知在△ABC中，AB=2，AC=BC，求△ABC的面積的最大值.

2. 已知平面向量m，n滿足

n

=1且m與n-m的夾角為120°，求

m

的最大值.

通過例2和思維拓展題，學生的思維在廣度、深度上得到了拓展，對本專題的掌握在解題方法和數學思想上有了質的突破，提升了運用數學思想、數學方法解決問題的能力.

評析：（1）從MK的角度來看，每個數學問題都蘊含著一定的數學思想、數學方法. 例2中最值問題在本質上是函數問題，運用正、余弦定理解決三角形里的最值問題是函數問題的常見解題策略.

（2）從CK的角度來看，經過前面三個階段學生已有一定的知識儲備，例2就是讓學生將知識提煉升華到方法層面，更深層次地培養學生運用正、余弦定理解決三角形問題的工具意識.

（3）從PK的角度來看，專題教學更注重數學核心素養的培育. 例2讓學生體驗到正、余弦定理與三角恒等變換、三角形面積公式、基本不等式的綜合應用，在應用里體會數學問題中蘊含的數學思想、方法，逐步掌握程序性知識和策略性知識，優化認知結構，同時在思維的訓練中引領數學核心素養的培養.

[?] 結語

專題教學是一項復雜、艱巨的教學任務，它不但需要教師做好充分的課程準備，更需要教師能夠根據學情適時地調整教學模式和教學方法. 在專題課題的選材上往往以學生的信息反饋、教材習題、試題研究、教研活動等為生長點，教師要扮演好專題教學的策劃設計者、引導調控者、鼓勵評價者、梳理升華者，學生要成為專題教學的積極參與者和發現者，引導學生從認識上、思想上揭示問題的本質，進而培養和發展學生的數學素養和創新意識.

專題是高中數學課堂的重要內容，如何通過專題教學讓學生認識到其中蘊含的數學知識的本質，這就需要教師具備專業的MPCK. 只有具備良好的MPCK，才能創造性地組織、實施教學，鍛煉學生的思維，同時教師的個人教育教學素養也將得到提升.

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