利用狹義相對論計算洛倫茲力和安培力

陳彥儒 馮仕猛

(1上海交通大學機械與動力學院； 2上海交通大學物理與天文系，上海 200240)

利用狹義相對論計算洛倫茲力和安培力

陳彥儒1馮仕猛2

(1上海交通大學機械與動力學院；2上海交通大學物理與天文系，上海 200240)

隨著對電磁現象研究的逐步深入，人們早已認識到磁現象來源于電荷的運動，磁場和電場是相互聯系的統一體，稱之為電磁場。本文根據狹義相對論中洛倫茲變換的基本原理，利用兩個坐標系中靜電力和電場的相對論變換，推導出洛倫茲力與庫侖力、安培力之間關系，即洛倫茲力和安培力來源于電場力的相對論變換，從而更加有助于理解洛倫茲力的物理本質。

狹義相對論；電磁場；洛倫茲力;安培力

電場與磁場的產生都與電荷有關，它們的大小和方向又與電荷間的距離有關，還與電荷的運動速度有關。電場能夠產生磁場，磁場也能產生電場，所以可以統稱為電磁場。利用電磁場張量和四維力的協變性及電荷相對論的不變性，可以討論電場力和安培力的相互轉換[1-3]，但這種轉換的前提是運動電荷中存在一個磁場，由此而可以推導出電磁場的相關變換關系。

經典物理教科書上較少介紹磁場的本質特征。本文利用相對論基本理論，討論一個在慣性參考系內的兩個并行運動電荷所受的電場力如何轉換為另一個慣性參考系中的洛倫茲力，對進一步理解電磁場的相對論變換有一定的意義。

1 狹義相對論變換推導洛倫茲力和安培力

1.1 兩個并行運動電荷產生的洛倫茲力

在經典電磁理論中，計算兩個并行運動電荷之間的洛倫茲力時，總是首先計算一個運動電荷在空間某點產生的磁場強度，然后計算該點處運動電荷受到的洛倫茲力，如圖1所示。

圖1 兩個并行運動的電荷圖

在本文中，我們直接利用狹義相對論的基本理論來計算這個力。由狹義相對論，靜止參照系S中A電荷在周圍產生的電場強度為[4]

(1)

式中,u是電荷運動速度;q是電量;r是A電荷到空間某點之間的距離，z是空間某點與電荷運動方向之間的垂直距離。當A電荷沿如圖1中的方向以u勻速運動時，A電荷在B處產生的電場強度表達式為

(2)

這樣，靜止坐標系S中B電荷受到的電場力為

(3)

在與電荷運動速度相同的參照系中S′中，A電荷產生的電場強度表達式為

(4)

在運動坐標系S′中，B電荷受到的電場力為

(5)

因為運動坐標系速度與運動電荷速度相同，根據狹義相對論中力的變換關系式[4，5]，把運動坐標中的力變換到靜止坐標系中

(6)

式中F2是靜止坐標系S中的力。把式(5)代到式(6)中可以得到

(7)

在S系看來，B電荷受到的力：一是利用電場的相對論變換式(3)得到的，另外一個力是通過相對論直接變換式(7)得到的，這兩個力之差為

(8)

利用級數展開，式(8)可簡單化為

(9)

式(9)表示在S系中兩個運動電荷之間除了一個庫侖力外，還存在一個其他力f，這與經典洛倫茲力表達式[4，5]完全相同，這說明通過力的相對論變換和場的相對論變換之差得到的S系中f就是洛倫茲力，也就是說，磁場完全可以通過相對論變換計算。

1.2 兩個同方向運動電荷產生的洛倫茲力

對于兩個電荷在一條直線上同方向的運動(或者反方向運動)，如圖2所示。

圖2 兩個同方向運動電荷模型圖

在S系中A電荷在B電荷處產生的電場強度和B電荷受到的力分別為

(10)

在與電荷速度相同的參照系S′中，電荷產生的電場強度為

(11)

式中r′是運動坐標系S′中兩個電荷之間的距離，與圖2中靜止坐標系S系中兩個電荷之間距離r的關系為

(12)

如此，在S′系中電荷之間的庫侖力可以寫成為

(13)

在狹義相對論中，如果電荷只有x方向有運動速度，而在y、z方向運動速度為零，則運動方向上力的相對論變換關系[4，5]

(14)

因此， 運動坐標中的力變換到靜止坐標系S系中為

(15)

S系中的力，一個直接通過場的變換式(10)得到，另外一個是通過力的變換式(15)得到的，這兩個力之差式(15)-式(10)可以得到

f=F2-F1=0

(16)

式(16)表示兩個電荷在一條直線上作同方向運動時，它們之間只有庫侖力，不受其他力作用，這與經典理論是吻合的。

因此，直接利用兩個參照系中電場變換與力的變換，可以推導出洛倫茲力，這對正確理解洛倫茲力是非常有意義的。

1.3 直流長直導線安培力的相對論計算

對于兩根直流長直導線(如圖3所示)，設在長度為L0的導線內電子電量為Q。

圖3 兩根直流導線的模型圖

首先研究在靜止的坐標系S系中電荷線密度的改變。在S系中，設A導線單位長度正電荷線密度是λ0+；當電子沒有定向運動形成電流時，相同數量的正電荷占據的長度和相同數量的電子占據的長度相等。當電子定向運動速度為u，在S系中與正電荷相同的電子占據的空間導體長度在S系中收縮：

(17)

其中,L0是靜止系中導線的原長；u是電子在導體內的運動速率。這樣，S系中電子運動時線密度為

(19)

當正負電荷都靜止時，有λ0-=λ0+=λ0，則在S系中凈電荷線密度為

(20)

式中λ就是A導線中的凈電荷線密度。利用無限長的帶電長直導線在周圍產生電場公式[4]

(21)

在S系中無限長的A導線中凈電荷在周圍產生的電場強度為

(22)

式中r是A導線到B導線之間的距離。在S系中B導線中運動的電子受到A導線中凈電荷電場的庫侖力為

(23)

用同樣方法研究在與電子運動速度相同的運動坐標系S′系中A導線電荷密度的改變。在S′系中，電子單位長度線密度沒有改變，即λ0-=λ0；但正電荷相對于電子的運動速度為-u。同樣的道理，相同數量的正電荷占據的導體長度會在S′系中收縮：

(24)

這樣，S′系中正電荷線密度為

(25)

則，在S′系中A導線凈電荷線密度為

(26)

利用線電荷密度產生電場的公式[4]， 則在S′系中無限長的A導線中凈電荷在周圍產生的電場強度為

(27)

在S′系中B導線上運動電子受到的電場力為

(28)

利用式(6)兩個坐標系中力的變換關系得到

(29)

在S系看來，B導線中運動電荷受到的力：一是利用電場的相對論變換式(23)得到的，另外一個力是通過相對論直接變換式(29)得到的。這兩個力之差為

f=F1-F2=

(30)

將其進一步簡化為

(31)

對于導線中運動電荷，一般情況下電荷速度遠小于光速，式(31)可以進一步簡化為

(32)

式(32)表示在S系中兩根導線通過電流時，通過力和場的變換得到f與經典安培力表達式完全相同，說明了可以直接通過相對論變換計算安培力。

總之，利用兩個參照系中電場和力的變換，可以推導出洛倫茲力與安培力，這對正確理解電磁場的相互轉換是非常有幫助的。

2 結語

利用狹義相對論力和場的變換關系可以完整推導出安陪力和洛倫茲力與電荷間庫侖力的關系，這對深入理解磁場的物理本質是非常有意義的。

[1] 黃永順，李子軍.相對論情形下相對靜止運動電荷間的相互作用[J].漳州師范學院學報，自然科學版,2010(01):79-83.HuangYongshun,LiZijun.Theinteractionbetweenrelativelystationarymotionchargesintherelativisticcase[J].JournalofZhangzhouNormalUniversity,NaturalScienceEdition, 2010(01): 79-83. (inChinese)

[2] 張祥雪,程艷霞,范秀華,等.洛倫茲力可看作靜止電荷所受電場力的相對論效應[J].物理與工程， 2006，16(4):26-30.ZhangXiangxue,ChengYanxia,FanXiuhua,etal.Lorenzforcecanberegardedastherelativisticeffectoftheelectricfieldforceofstaticcharge[J].PhysicsandEngineering, 2006, 4(16): 26-30. (inChinese)

[3] 戴孟昆.洛倫茲力的相對論解釋[J].云南民族學院學報，自然科學,2001, 10(2):329-331.DaiMengkun.Lorenz’stheoryofrelativity[J].JournalofYunnanInstitutefornationalities,(NaturalScience), 2001, 4(2): 329-313. (inChinese)

[4] 高景，等.大學物理教程(上、下)[M].上海：上海交通大學出版社,2010.

[5] 趙凱華.電磁學[M].北京：高等教育出版社,2003.

[6] 費曼.費曼物理(中譯本)第二卷[M].王子輔等，譯.上海：上海科學技術出版社，2005:154.

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USING SPECIAL RELATIVISTIC EFFECTS TO CALCULATE THE LORENTZ FORCE BETWEEN AND AMPERE’S FORCE

Chen Yanru1Feng Shimeng2

(1Faculty of Mechanical Engineering and Power Energy;2Department of Physics and Astronomy, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240)

With the continuous development in research on electromagnetic phenomena, people already realize the fact that magnetic phenomena source from the movement of charges and magnetic and electric fields are interrelated unity, which is called electromagnetic fields. Based on the fundamental theory of Lorentz transformation in special theory of relativity, this paper attempts to examine the relationship among the Lorentz force, the Coulomb force and the Ampere’s force by employing the difference of charge density between two coordinate systems and the relativistic transformation of the electric field and electrostatic force. Lorentz force and Ampere’s force are derived from the relativistic transformation of the electric field force, which might facilitate the understanding of the physical nature of the Lorentz force.

special relativity; electromagnetic force; Lorentz force; Ampere’s force

2016-08-05；

2017-02-28

陳彥儒，男,上海交通大學機械與動力工程學院學生；馮仕猛，男，副教授，主要研究方向為基礎物理，smfeng@sjtu.edu.cn。

陳彥儒，馮仕猛. 利用狹義相對論計算洛倫茲力和安培力[J]. 物理與工程，2017，27(4)：75-78.