半導體中電子和空穴的共有化運動與霍爾電壓

羅堅義 李宇東 張園園 林麗娜 黃景誠

(五邑大學應用物理與材料學院，廣東 江門 529020)

半導體中電子和空穴的共有化運動與霍爾電壓

羅堅義 李宇東 張園園 林麗娜 黃景誠

(五邑大學應用物理與材料學院，廣東 江門 529020)

霍爾效應被應用于測定半導體的載流子種類(電子或空穴)時，空穴的移動在本質上往往被理解為束縛電子的移動，那么同樣是電子的移動，卻能產生相反的霍爾電壓，引發學習者在理解上的困惑。本論文首先闡述了這個問題的由來，并介紹了利用電子有效質量是如何有效解決這個矛盾的觀點；最后，筆者從量子力學的角度出發，運用半導體中電子和空穴共有化運動的思想，試圖用更加通俗的方式來理解這個問題，以便于學習者能更加深刻、全面地理解霍爾效應和霍爾電壓的由來。

霍爾電壓；半導體載流子；有效質量；共有化運動

霍爾效應常被應用于測定半導體的載流子類型(電子或者空穴)，也可被應用于測量外加磁場的強度，并根據其原理，人們還開發出了相應的霍爾測試儀和霍爾效應傳感器等設備與器件。在大學物理實驗中也普遍面向理工科類學生開設一系列相關的霍爾效應實驗。可見，讓理工科的學生能正確理解霍爾效應的基本原理，對其后續的工程學習和實踐能力培養都顯得至關重要。在基礎物理教材介紹到霍爾效應時，只是提到可用于判斷半導體的載流子種類(是電子或者是空穴)，但載流子具體是如何在其中運動并產生霍爾電壓的并沒有詳細的描述[1]。在半導體物理中，引入了空穴的概念后，但空穴在晶體中的移動，又往往被理解為束縛電子對周圍空穴的填充過程，在本質上也是電子的移動[2,3]。那么，同樣都是電子的移動，為什么自由電子導電(n型半導體)和空穴導電(p型半導體)會出現相反的霍爾電壓？為了回答這個問題，不少學者或教育者從不同角度對這個問題進行了詮釋[3-6]。撰寫本論文的目的是希望闡述清楚這個問題的由來，梳理一下學者們對這個問題的理解，以及提出筆者自己的見解，使得學習者能更加深刻、全面地理解霍爾效應和霍爾電壓的由來。本論文首先回顧霍爾電壓的產生及其微觀解釋，然后應用電子和空穴運動的經典物理模型于霍爾效應中，引出同是電子的移動，卻能產生相反霍爾電壓的矛盾。針對這個矛盾，介紹了利用電子的有效質量如何有效解決這個矛盾的觀點；最后，筆者從量子力學的角度出發，運用半導體中電子和空穴共有化運動的思想，試圖用更加通俗的方式來理解這個問題。

圖1 霍爾效應原理示意圖

1 霍爾電壓及其微觀解釋

霍爾效應實驗如圖1所示， 在半導體材料的左右兩端(x軸方向上)加載一個電場E， 帶電的載流子(電子圖1(a)或者空穴圖1(b))將在電場的作用下從右到左(電子)或者從左到右(空穴)運動，一旦載流子具有速度，將會受到磁場力f=-q×B或f=q×B(也就是洛倫茲力)的作用，如圖1所示，無論是電子還是空穴受到的磁場力方向都具有往z軸的正方向分量，從而載流子都發生了向上偏轉運動。可見，如果傳導的載流子是帶負電荷的電子，電子將會在材料的上表面聚集，從而在實驗上測到的霍爾電壓為負。反之，如果載流子為帶正電荷的粒子，在實驗上測到的霍爾電壓將為正。這里有兩點需要補充說明的是：(1)材料本身是電中性的，除了導電的載流子之外，還有固定在晶體中不能移動的雜質離子(n型半導體中的施主雜質離子，p型半導體中的受主雜質離子)，當材料的上端集聚了多余的載流子后，將會導致在另外一端的雜質離子沒辦法被中和，故使材料的下端表現為帶相反的電荷；(2)在相同外加的電場和磁場作用下，無論載流子是正電荷或者是負電荷，受到的洛倫茲力都是同一個方向(如圖所示為向上)，故載流子都會向上運動。因此，通過測量材料上下表面的霍爾電壓就可以判定導電的載流子種類。

2 半導體中電子與空穴運動的經典物理模型

上述對霍爾電壓的產生以及對正負載流子判定的解釋似乎已經很完美了，但在解釋霍爾效應中空穴的傳導方向則出現了問題。在半導體物理中，空穴是一個假想的帶電粒子。空穴又稱為電洞，也就是電子的空位，當晶格中的束縛電子被激發變成了自由電子并游離于晶格間，在電子原來的位置上則出現電子的空位(空穴)，周圍的束縛電子都可以填充這個空位，從而引起空位在晶體中的移動(類似于一個蘿卜有一個坑，拔走一個蘿卜后留下一個坑位，再把周圍的蘿卜拔起來填這個坑時，又在新的位置出現了蘿卜坑，看起來像是蘿卜坑在移動了，實際上是蘿卜在移動)，這是經典粒子物理模型向我們展示的圖像，直觀而易懂。可見，空穴的移動，在本質上可以被看成是電子的移動。如果把這個模型應用到霍爾效應中，如圖2所示，我們就會發現，在電場的作用下，空穴是從左向右移動的(x軸的正方向)，也就是電子應該是從右向左不斷填充空穴的移動過程，這時移動中的電子將受到向上的磁場力作用，那么電子應該是向上偏轉，從而形成負的霍爾電壓。同樣， 在n型半導體中自由電子(如圖1(a))也是從右向左移動，其產生的霍爾電壓也應該是負的。也就是說，按照這個經典物理圖像的分析，將不可能出現霍爾電壓為正的情況，但在實驗上確實是觀察到了有正的霍爾電壓，那么問題出在哪里呢？

3 電子有效質量的概念及其對霍爾電壓的解釋

圖2 霍爾效應中空穴運動的經典物理模型

為了解答上述的矛盾，有些學者[3-6]利用固體中電子有效質量的概念，認為在價帶中的電子(束縛電子)具有的有效質量為負值(即me<0)。因此，在圖2所示的模型中，電子雖然收到向上的磁場力f的作用，但根據牛頓第二定律 a= f/me,加速度的方向應該與作用力f方向相反，所以電子應該是向下偏轉運動而不是向上運動，從而形成了正的霍爾電壓，較好地解決了上述的矛盾。但是，在大學物理的教學中只是簡單提到固體的能帶結構，并不涉及到有效質量概念的介紹，特別是物體質量為負值的情況，在我們日常生活中幾乎看不到這方面的實例，因此給初學者帶來了理解上的困難。如何理解電子在固體中具有負的有效質量，可從固體中電子經典運動的兩個基本方程式出發[7]：

(1)

(2)

其中v(k)為電子的速度，E(k)為電子具有的能量，均為波矢k的函數，(hk)具有動量量綱，動量對時間的求導為作用外力F。在外力的作用下，電子的速度將發生改變，因此電子的加速度a可表示為

(3)

(4)

則式(3)可改寫為

(5)

可見，有效質量me不同于電子的慣性質量。在考慮了晶體勢能場的作用后，有效質量的大小和正負號往往取決于電子所在的能量狀態E(k)，是一個與電子能量狀態E(k)對k求二階導數相關的物理量。當E(k)曲線開口朝上，電子能量處于谷底時，有效質量取正值。當E(k)曲線開口朝下，電子能量處于峰頂時，有效質量取負值。對于空穴的傳輸來說，電子的填充運動主要是發生在價帶頂部附近，其E(k)曲線的開口一般朝下，二階導數為負值，因此電子的有效質量取負值。一旦電子的有效質量為負值，那么在電子受到磁場力作用后，將出現其加速度的方向與其受外力方向相反的情況。例如在圖2中，移動中的電子將受到向上的磁場力，反而具有向下發生偏轉的加速度，從而在上下極板間形成正的霍爾電壓。可見，當電子的有效質量取負值時，霍爾電壓為正；反之，霍爾電壓則為負，從而似乎完美地解答了“同是電子導電卻能產生相反霍爾電壓”的問題。

4 半導體中載流子的共有化運動圖像及其對霍爾電壓的詮釋

電子有效質量的引入，基本上解決了電子導電和空穴導電在本質上同是電子的移動卻會出現相反方向霍爾電壓的困惑，讓經典物理仍然適于半導體物理，好處是直觀易懂，弊端是又引入理解有效質量概念帶來的困難。因為在經典牛頓力學圖像中，很難想象出一個運動物體質量為負的情形會是怎樣的，又不得不借助量子力學中波粒二象性的結論(如在式(1)、(2)中引入普朗克量子數h去描述粒子的動量)去解釋有效質量的概念。筆者認為從一開始把空穴的移動想象成價電子的填充過程(即從本質上看成是電子的移動)，這種說法并不準確，甚至有可能是錯誤的。雖然大多數教科書上都做這樣處理，目的是讓初學者能更加容易而且直觀地理解空穴導電的過程，但實際過程可能并非如此，兩者并不等價。為了說明這個問題，讓我們從載流子的共有化運動說起。

從半導體的能帶理論出發，在固體中電子一旦脫離束縛它的晶格原子，進入導帶成為自由電子，該自由電子將在晶格中做“自由自在”的不規則運動，不再歸屬于晶格中任何原子所獨有，已成為所有原子共同擁有的“資產”。這時，自由電子正在做著共有化運動。同樣，在電子脫離晶格原子束縛后，在原來的位置留下的空穴也跟自由電子一樣開始做共有化運動，不再歸屬于某個原子所有或者停留在某個原子附近，快速漂浮于各個晶格原子間，成為有別于自由電子的另一種載流子，也就不存在周圍束縛電子可以去填充空穴這個過程了，因為束縛電子已經無法找到空穴的具體位置了。關于空穴的移動，我們有一個更加形象的比喻：如果我們把束縛電子比喻為杯子中的水，空穴就是水中的氣泡。晃動杯子時，氣泡會隨著杯中水的涌動而到處游走。氣泡移動過程，并不是水分子去不斷填充氣泡，氣泡從一個位置消失，又從另一個位置產生的過程，而是杯中水的集體運動帶動了氣泡的漂浮運動。可見，空穴的移動并不能簡單地看成是由空穴附近束縛電子不斷填充空穴的過程，而應該把它看成是價帶上束縛電子集體運動所帶來的效果。這一點可從教程書中討論半導體的滿帶不導電和半滿帶導電模型中得到印證(見參考文獻[2, 8])。在解釋滿帶與半滿帶的導電問題時，我們往往需要考慮的是，在k空間中整個電子分布在外電場作用下移動一個偏移量后是否會引起部分電子電流無法被抵消從而產生宏觀電流；在討論價帶中的空穴導電時，我們也往往需要分析價帶上所有電子分布的整體移動而才能得出空穴的導電電流。可見，空穴雖然是一種假想的載流子，但其質量和導電機制都有別于電子，已可被看成是另一種實實在在且帶正電荷的載流子，而不需要通過別的粒子來等價它或者代言它。

5 結論

本文首先介紹了霍爾效應和霍爾電壓的微觀解釋，然后提出半導體中電子與空穴運動的經典物理模型在解釋霍爾電壓方面存在的矛盾，即空穴的導電本質上可以看成電子的移動，同是電子的移動，空穴導電和電子導電卻能出現相反方向的霍爾電壓。針對上述的矛盾，介紹了利用引入電子的有效質量如何有效解決這個矛盾的觀點。最后，筆者提出了對這個問題的看法，認為空穴的移動并不能簡單理解為電子的填充運動過程，并且從載流子的共有化運動角度出發，認為自由電子和空穴分別在導帶和價帶做共有化運動，已很難再判定自由電子或空穴在晶格的具體位置，從而不存在電子去填充空穴的過程。筆者用杯子中的水比喻價帶中的束縛電子，水中的氣泡比喻空穴，形象地說明了空穴的移動是由束縛電子集體運動引起的，而不是束縛電子不斷填充空穴的物理過程。本文對霍爾效應和霍爾電壓由來的總結和思考，將有利于大學教師和學生對霍爾效應及其相關問題的深入理解和研討，也可作為大學物理、半導體物理和固體物理等課程教學中對半導體導電機制部分的補充和拓展。

[1] 張三慧.大學物理學[M].3版(B版).北京：清華大學出版社，2009: 368-370.

[2] 劉恩科.半導體物理[M].4版.北京：國防工業出版社，2002:18-20.

[3] 趙慶利， 馬連喜.霍爾效應中的空穴[J].物理通報，2008(5):14-16.ZhaoQingli,MaLianxi.HolesinHalleffect[J].PhysicsBulletin, 2008, 2008(5): 14-16. (inChinese)

[4] 馬連喜.再論空穴和霍爾效應[J].物理通報,2010(5):67-67.MaLianxi.FurtherdiscussiononholesandHalleffect[J].PhysicsBulletin, 2010, 2010(5): 67-67. (inChinese)

[5] 潘留仙，徐勇.利用霍爾效應區分P型與N型半導體的理論詮釋[J].廣西物理，1996， 17(4):4-7.PanLiuxian,XuYong.TheoreticalinterpretationofdistinguishingbetweenP-typeandN-typesemiconductorusingHalleffect[J].GuangxiPhysics, 1996, 17(4): 4-7.(inChinese)

[6] 劉鳳艷，丁曉紅，楊紅衛，等.半導體的霍爾電壓[J].物理與工程，2015,25(3):57-59.LiuFengyan,DingXiaohong,YangHongwei,et.Hallvoltageofsemiconductor[J].PhysicsandEngineering, 2015, 25(3): 57-59. (inChinese)

[7] 林鴻生.從經典物理角度看半導體中的電子和空穴[J].物理，1982，11(2):119-123.LinHongsheng.Aviewfromclassicalphysicstoresearcheletronandholepairsinsemiconductor[J].Physics, 1982,11(2): 119-123. (inChinese)

[8] 黃昆，韓汝琦.固體物理學[M].北京：高等教育出版社， 1988:250-255.

■

COMMUNIZATION MOVEMENT OF ELECTRONS AND HOLES AND HALL VOLTAGE IN SEMICONDUCTOR

Luo Jianyi Li Yudong Zhang Yuanyuan Lin Lina Huang Jingcheng

(School of Applied Physics and Materials, Wuyi Uninversity, Jiangmen Guangdong 529020)

Hall Effect is usually applied to distinguish the kind of carriers in semiconductor (electrons and holes), and currently the hole movement could be understood as the boundary electron movement in essence. Spontaneously for learners, a question could arise that since hole movement inP-typed semiconductor is belonged to electron movement in essence, but it can induce opposite Hall voltage compared with the case of electron movement inN-typed semiconductor. The arising of this question is firstly introduced in detailed in this paper, and then the concepts of effective mass in solid physics is introduced and applied to solve the question. At last, authors try to answer this question in more comprehensible way by applying the communization movement of electrons and holes in semiconductor, according to the basic ideas of quantum mechanics. The results and discussions in this paper deepen the learners’ comprehension of the origins of Hall Effect and Hall voltage.

Hall voltage; carriers in semiconductor; effective mass; communization movement

2016-04-13

廣東省自然科學杰出青年基金(2015A030306031)，國家自然科學基金(51402218)，廣東高校創新團隊建設項目(2015KCXTD025)，五邑大學青年基金項目(2013zk05, 2014td01), 五邑大學教研教改項目(YJS-JGXM-14-05，JG2013013)。

羅堅義，男，副教授，主要從事大學物理、半導體物理的理論教學和研究，光電材料與器件應用研究等工作，Luojiany@mail3.sysu.edu.cn。

羅堅義，李宇東，張園園，等. 半導體中電子和空穴的共有化運動與霍爾電壓[J]. 物理與工程，2017，27(4)：53-56.