卡諾定理的正確認識

周旭波 何麗珠 王 進

(青島大學物理科學學院，山東 青島 266071)

卡諾定理的正確認識

周旭波 何麗珠 王 進

(青島大學物理科學學院，山東 青島 266071)

在普通物理熱學教學中，對卡諾定理和可逆循環(huán)效率的認識十分重要，但對此經(jīng)常容易產(chǎn)生誤區(qū)。由教學中常見的具體問題出發(fā)，我們對卡諾定理的適用范圍，可逆非卡諾循環(huán)的效率和熱機效率的提高途徑等問題進行討論。強調(diào)：卡諾定理中的可逆熱機是作卡諾循環(huán)的；可逆非卡諾循環(huán)效率一般與工質及循環(huán)曲線形狀有關，但有類卡諾循環(huán)等特殊情形；提高熱機效率的途徑應為：使循環(huán)盡可能地接近卡諾循環(huán)和提高兩熱源的溫度差。同時糾正了一些有關的模糊認識。本文對實際教學有一定的參考價值。

卡諾定理；循環(huán)；可逆循環(huán)；效率；熱機

在普通物理熱學教學中，卡諾定理和可逆循環(huán)效率是十分重要的內(nèi)容。卡諾于1824年提出了卡諾定理[1]： (1)在相同的高溫熱源和相同的低溫熱源之間工作的一切可逆熱機，其效率都相等，與工作物質無關；(2)在相同的高溫熱源和相同的低溫熱源之間工作的一切不可逆熱機，其效率都小于可逆熱機的效率。在教學中，經(jīng)常遇到有關卡諾定理的幾個問題，有必要進行討論。

1 準確識別卡諾定理特征，避免誤用

教學過程中，類似下面的題目，相當多的學生認識模糊或做錯。

0.32kg氧氣作圖1所示的循環(huán)ABCDA,設V2=2V1,T1=300K,T2=200K，求該循環(huán)的效率[2]。

圖1 循環(huán)ABCDA

用循環(huán)效率定義式求解如下：

循環(huán)中系統(tǒng)做的凈功為

(1)

等溫過程AB中ΔE=0，則QAB=WAB。等體升壓過程DA中W=0，則QDA=ΔEDA，因此循環(huán)中系統(tǒng)吸熱的總量為

(2)

所以，該循環(huán)的效率為

(3)

文獻[4]指出，由于此斯特林循環(huán)的特殊設計，使其效率的計算不同于基本公式。羅伯特·斯特林為了提高兩條等溫線與兩條等體線組成的循環(huán)的效率，想到了一個內(nèi)置回熱器的獨特設計方法，即斯特林循環(huán)。在整個循環(huán)中，兩個等體過程的吸、放熱發(fā)生于系統(tǒng)內(nèi)部的回熱器之中，不對外界產(chǎn)生任何影響，只在兩個等溫過程中，工質才與外界交換熱量。經(jīng)計算得出結論：斯特林熱機的效率與卡諾循環(huán)效率相同。筆者認為，雖然如此，作為一道習題，考察學生對有關知識的理解與運用，上面的解法尚為可取。可以認為，此循環(huán)內(nèi)無回熱器與工質交換熱量。

2 正確理解類卡諾循環(huán)效率的結果

文獻[5]指出：可逆非卡諾循環(huán)效率與卡諾循環(huán)效率完全不同，它與工質(如是單原子還是雙原子理想氣體)及循環(huán)曲線形狀有關。可以做一點補充：對于類卡諾循環(huán)[6]，如埃里克森循環(huán)、上面的斯特林循環(huán)及奧托循環(huán)等，其效率與工質及循環(huán)曲線形狀無關，只與兩點的溫度有關。如下面的題目：

一定量的理想氣體，經(jīng)歷圖2所示的循環(huán)。其中AB和CD為等壓過程，BC和DA為絕熱過程。設B點溫度TB=T1，C點溫度TC=T2。證明該熱機的效率為η=1-T2/T1[2]。

圖2 兩個等壓過程與兩個絕熱過程構成的循環(huán)

證明：AB過程吸熱QAB=νCp,m(TB-TA)

(4)

(5)

所以，該循環(huán)的效率為

(6)

對AB、CD、BC、DA分別有：

(7)

(8)

(9)

(10)

聯(lián)立求解以上各式，可得

(11)

該循環(huán)不是卡諾循環(huán)，但其效率表達式與卡諾循環(huán)相似，且其效率與工質(例如分子結構)及循環(huán)曲線形狀無關。需要強調(diào)的是：式(11)中的T1、T2只是溫度變化中兩特定點的溫度，而非兩等溫熱源的恒定溫度。

3 如何認識卡諾定理給出熱機循環(huán)效率上限

卡諾定理的推論： 可逆非卡諾循環(huán)的效率，小于工作于其最高熱源和最低熱源之間的卡諾循環(huán)的效率[7-9]。采用T-S圖可給出簡捷的證明[7]：

對微小的可逆過程有：

dQ=TdS

(12)

若dS>0,則dQ>0(吸熱)；若dS=0,則dQ=0(絕熱)；若dS<0,則dQ<0(放熱)。

對有限可逆過程有：

(13)

圖3 T-S圖中的循環(huán)

(14)

(15)

因為SD CEFDSambEFa

所以有：η>η′。

由此得出，可逆卡諾循環(huán)的效率為熱機循環(huán)效率的上限。因此，提高熱機效率的途徑應為：使循環(huán)盡可能地接近卡諾循環(huán)；提高兩熱源的溫度差。

4 結語

由以上討論可見，卡諾定理不適用于可逆非卡諾循環(huán)；可逆非卡諾循環(huán)效率一般與工質(例如分子結構)及循環(huán)曲線形狀有關，但有類卡諾循環(huán)等特殊情形；使循環(huán)盡可能地接近卡諾循環(huán)是提高熱機效率的途徑之一。

[1] 趙凱華，羅蔚茵. 新概念物理教程：熱學[M]. 北京：高等教育出版社，1998：180.

[2] 馬文蔚，解希順，周雨青. 物理學下冊[M].5版.北京：高等教育出版社，2006：258.

[3] 李椿，章立源，錢尚武. 熱學[M]. 2版. 北京：高等教育出版社，2008：161.

[4] 周雨青. 理想斯特林熱機循環(huán)原理及其效率的計算和實際工作效率的簡單討論[J]. 物理與工程，2015，25(1)：49-52. Zhou Yuqing. A discussion about the ideal Sterling cycle’s principle of operation and factors that influence the efficiency of a real sterling cycle[J]. Physics and Engineering, 2015，25(1)：49-52. (in Chinese)

[5] 秦允豪. 普通物理學教程：熱學[M]. 2版. 北京：高等教育出版社，2004：204.

[6] 嚴子浚. “概括性卡諾循環(huán)與卡諾定理”一文中的兩個問題[J]. 物理通報，1992(8)：11. Yan Zijun. Two problems in the paper of“general Carnot cycle and Carnot theorem”[J]. Physics Bulletin, 1992(8)：11. (in Chinese)

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[9] 白玉林. 再談任意循環(huán)極限效率的p-V圖證明[J]. 大學物理，1997，16(8):48. Bai Yulin. Further discussion on the proof of limiting efficiency of arbitrary cycle byp-Vdiagram[J]. College Physics, 1997，16(8): 48. (in Chinese)

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THE CORRECT UNDERSTANDING OF CARNOT THEOREM

Zhou Xubo He Lizhu Wang Jin

(College of Physics, Qingdao University, Qingdao Shandong 266071)

The understanding of Carnot theorem and the efficiency of reversible cycle are very important in the teaching of general physics. However, it is easy to produce some misunderstandings on this. By the common problems in the teaching, the scope of Carnot theorem, the efficiency of reversible non Carnot cycle and the way of improving the efficiency of heat engine are discussed. We emphasize that the reversible heat engine of Carnot theorem is the Carnot cycle, the efficiency of reversible non Carnot cycle is generally related to the working substance and the shape of the circular curve, but there is a special case such as Carnot-like cycle etc. The way of improving the efficiency of heat engine is to make the cycle as close as possible to the Carnot cycle and improve the temperature difference between the two heat sources. Some vague understandings about it are corrected. This paper has a certain reference value for practical teaching.

Carnot theorem; cycle; reversible cycle; efficiency; heat engine

2016-09-26

山東省重點教學改革項目：依托國家級和省部級優(yōu)勢資源構建“四特、四能”創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的實踐教學體系(No.2015Z042);青島大學教學研究與改革項目：物理公共基礎課教學改革研究(2016WLJY04)。

周旭波，男，副教授，主要從事基礎物理教學工作，研究方向為物理海洋數(shù)值模擬，zhouxubo9@163.com。

周旭波,何麗珠,王進. 卡諾定理的正確認識[J]. 物理與工程，2017，27(4)：57-59.