引力波及激光觀測原理

韓 瀟 劉宇星

(北京工業大學應用數理學院,北京 100124)

引力波及激光觀測原理

韓 瀟 劉宇星

(北京工業大學應用數理學院,北京 100124)

近期引力波話題火熱，為使本科生對引力波有系統的了解，本文由愛因斯坦經典引力理論出發，考慮在遠離場源的弱場近似，細致推導得到波速為光速、在空間上以橫波形式傳播的引力波的波動方程，并且指出引力波只存在兩種獨立的極化狀態，即引力波兩個獨立的偏振方向。之后對激光觀測引力波實驗的理論進行合理性分析。得出裝有法布里-珀羅腔結構的邁克耳孫干涉儀具備觀測引力波能力的結論。

引力波； 愛因斯坦引力場方程； 弱場近似； 激光觀測

1 引力波概述

1916年，當廣義相對論(GR)的場方程完成后，愛因斯坦預言存在一種引力波。他發現廣義相對論線性弱場方程具有波動方程形式的解:由場源質量四極矩的時間變化產生的空間應變橫波，其傳播速度為光速，通俗地講，就是一種由質量引起的彎曲褶皺在時空上傳播形成的波[1]。作為一個物理理論，廣義相對論除了預言水星軌道的近日點進動、光子軌線的引力偏折、光頻率的引力紅移3大經典檢驗以外，還在20世紀成功預言引力透鏡效應[2]以及銀河系中心人馬座黑洞[3]等。廣義相對論還剩下的一個重大預言引力波在最近有了新進展。

自2016年2月11日L I GO宣布發現引力波[4]，社會各界興起引力波討論熱，近期再次觀測到引力波[5]，更是將討論熱度提到最高，與此同時人們不禁產生了一些問題：引力場具有何種的數學描述？引力理論究竟如何在弱場條件下得到波動形式解？引力波的形式是什么樣的？光束的傳播依托時空，若時空發生褶皺那又如何由光束體現時空褶皺？等等一系列問題引起本科生的困惑。雖然這些內容在大部分教科書(如朗道《場論》等)均有涉及，但對于大部分理工科未選修廣義相對論課程的學生，這些問題是無法被理解的。本文由最基礎的引力理論開始，逐步介紹引力波的波動方程及物理意義；同時對于少部分選修過廣義相對論課程的學生，會發現本文比教科書更為詳細地討論了弱場條件下波動方程的得出，并且較詳細地討論了兩種極化的物理意義。

2 弱場方程

對于愛因斯坦場方程

(1)

(2)

可見雷曼張量與時空度規因子gμ ν是場方程的重要組成，因此討論空間曲率張量特性即可預見場方程的某些屬性。

愛因斯坦提出廣義相對論時就已經預見引力波的振幅非常小，對此，考慮距離波源極遠的情景筆者將引力波看作平直空間中有極化方向的線性波，假設愛因斯坦場可以分為背景場和引力波兩項，并且認為背景場是慢變的，引力波是快變的。因此對于時空曲率可以寫出[7]

(3)

式(3)右邊兩項分別對應背景場和波動項。應注意的是，此式中4個指標都在下面，這并不是嚴格意義上的雷曼張量，但由度規因子很容易得到：

這種度規的擾動沒有對參考系作唯一確定的選擇，即x′i=xi+ξi處擾動度規仍保持為小量。

3 波動方程與極化場

雷曼張量由度規的二階協變微商*協變微商Aα,β在有些教科書又寫作?βAα，再例如hαα,ν,ν又寫作?ν?νhαα的線性組合確定[9]，這是由于

(4)

(5)

代入則有

(6)

(7)

將β與ν交換展開，則有

(8)

用未擾動的度規ηα ρ對度規小量升降運算，特別注意到，式中第四項在升指標后為對hμν的全微分：

(9)

相似的，對于Ricci標量

(10)

同時考慮到上一節中提到對于hμ ν為小量應在任意參考系變化下成立，即對于坐標變換x′i=xi+ξi，有：

(11)

(12)

將Rμ ν與R代入式(1)，并由上式條件化簡，則對于Ricci張量和度規擾動hμ ν可以得到簡單的場方程如下[10]

(13)

考慮引力場在遠離引力源的真空中傳播，則能動張量Tμ ν=0

(14)

這是一個三維波動方程，對比電磁波的波動方程：

(15)

發現形式極為相近，hμ ν可視為引力波場。

利用轉置無跡規范(transverse traceless gauge)，即假設引力波沿z軸傳播，震動方向垂直于z軸，引力波張量與時間t有關的都為零，且引力波場無跡。則hμ ν應只有4個分量

(16)

同時考慮到雷曼張量的對稱性(對于Rαβμν有34指標反稱，12指標反稱，34、12指標對稱，234指標循環反稱)，以及場無跡這一基本假設，分別得到hyx=hxy；hxx=-hyy。因此hμ ν只有兩種獨立的極化狀態，即h+和h×。任何引力場的極化都是由這兩種極化的線性組合得到。

對于轉置無跡規范的引力波，注意到雷曼張量是度規的二階協變微商的線性組合，可以回到雷曼張量，因此將波動方程改寫成下式：

(17)

指標0表示沿t軸的矢量；雷曼張量是含時的，且沿z軸以光速傳播，因此必然可以寫為Rμ 0ν 0=Rμ 0ν 0(t-z/c)的形式。同時類比度規hμ ν分量的簡化，同樣有Rx 0x 0=-Ry 0y 0，Rx 0y 0=Ry 0x 0。對此方程求解，有：

(18)

h+和h×為極化正弦波，A+和A×為極化振幅。

4 動力學方程

考慮兩個在弱場中的小質量檢驗對象A和B處在垂直于引力波傳播方向的平面(x-y面)，當引力波經過它(由無到有)，根據牛頓引力理論，引力勢函數與源的關系由泊松方程決定，

(19)

(20)

(21)

兩檢驗粒子的相對加速度為

(22)

左式：

右式：

因此有潮汐力方程[11]

(23)

對于廣義相對論的引力勢場，可以寫作雷曼張量表述形式，

(24)

并將式(12)代入替換有

(25)

對于兩檢驗對象的情況，考慮其一在(0,0,z)，另一在(x,y,z)位置，則有

(26)

(27)

積分則有

(28)

(29)

對于上式的物理解釋：當一個檢測質量環在引力場中，且垂直于引力波的傳播方向并假設z軸坐標為零，則質量環的運動規律如圖1。

圖1 引力波經過兩個偏振方向時引起的時空變化

具體分析：以圓心為坐標原點，x軸上兩點Px1(-x0,0)，Px2(x0,0)，y軸上兩點Py1(0,-y0)，Py2(0,y0)。當引力波相位在-π/2到π/2之間時，Px1在x方向的偏離Δx<0，而關于原點對稱的Px2則有Δx>0，這是由于Δx=hxxx0，式中x0在Px1、Px2兩點分別為-x0、x0。因此在此階段質量環的橫向間距變大。由于引力波振幅hxx=-hyy，因此縱向間距與橫向間距相反，在相位在-π/2到π/2之間時，縱向間距變小，且與橫向的變化量相同，類似的，同樣分析π/2到3π/2的情況，則剛好相反。

對于另一單一極化狀態，經過相似的步驟運

算推導，也有類似的結果：質量環在某一方向上伸縮震蕩。

5 激光觀測

根據定義兩個自由懸浮做測地運動的檢驗質量之間相對加速度(加速度梯度)可以表示為下式[12]

(30)

其中ξα為相對位移，uν為檢測質量四速度，λ為仿射參數。

同時觀察(26)、(27)兩式，當引力波作用兩檢驗質量時產生加速度，即檢驗粒子具有能量，此能量會使粒子在引力波經過之后繼續作簡諧運動。可見當引力波經過時，光束可以測量空間中兩檢驗粒子的距離變化。因此引力波的探測是可行的。

圖2 單偏振引力波在時空中傳播*Made by Mathematica 10.2

(31)

關于邁克耳孫干涉儀的著名實驗邁克爾遜-莫雷實驗證實以太不存在，為狹義相對論的出現作鋪墊。如今LIGO等引力波觀測實驗也采用此原理，或許將證實廣義相對論的一大預言。

如圖為激光觀測邁克耳孫干涉儀的原理圖，對于波長λ，兩光束相位差為[13]

(32)

(33)

顯然此觀測方法觀測頻率是有范圍的，干涉儀臂長L越大響應越強。如LISA的敏感頻段在3mHz[14,15]，考慮4億光年外兩個重達10萬倍太陽質量的黑洞相互繞轉，釋放的引力波振幅在傳播到地球時強度是10-21量級，對應相距5×106km的檢驗質量相對位移為10pm[13]。對于頻率為100Hz，對應臂長應為75km，這對于地面實驗顯然是無法做到的。因此，各實驗組均對邁克耳孫干涉儀進行改進，加入法布里-珀羅腔結構，使得激光在腔中多次循環，以減小腔長。

圖3 邁克耳孫干涉儀原理圖

6 結語

綜上，基于光速不變時空間隔為零這一特點的激光觀測引力波在理論上是合理的((31)(33)式)，對于引力波振幅極小這一困難，在技術上通過多次反射折疊使用法布里-珀羅腔結構控制輸出相位，做到放大作用。這同樣也是合理的，因此LIGO對于兩黑洞繞轉系統的引力波觀測是較為可信的。

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GRAVITATIONAL WAVES AND THE PRINCIPLE OF LASER OBSERVATION

Han Xiao Liu Yuxing

(Applied School of Mathematic Physics Science, Beijing University of Technology, Beijing 100124)

Gravitational waves become a hot issue recently. In order to make the undergraduates have systematic understanding of it, we review the derivation of gravitational waves in this paper. With Einstein classical gravitational theory, we obtain the wave equation from the weak-field approximation, and then we achieve the conclusion that the transverse waves of spatial strain travels at the speed of light. We point out that the gravitational waves exist only two independent polarized states, which means that the gravitational waves have two independent polarization directions. Furthermore, rationality about laser observation of the gravitational waves is analyzed both from theoretical and experimental aspects. Finally, we find a strategy to observe the gravitational waves by using the Michelson Interferometer with Fabry-Perot Cavity.

gravitational waves; Einstein field equations; weak-field approximation; laser observation

2016-06-22

韓瀟,男,在讀本科生，hx.shadow@qq.com。

韓瀟,劉宇星. 引力波及激光觀測原理[J]. 物理與工程，2017，27(4)：70-74.