薄圓盤直徑端點之間電阻的研究

王 嵐 惠小強

(1西安郵電大學理學院； 2西安郵電大學物聯網與兩化融合研究院，陜西 西安 710061)

薄圓盤直徑端點之間電阻的研究

王 嵐1惠小強2

(1西安郵電大學理學院；2西安郵電大學物聯網與兩化融合研究院，陜西 西安 710061)

針對薄圓盤直徑端點之間電阻難以利用傳統直接積分法或數值解法測量的問題，本文利用有限元分析法研究了薄圓盤直徑端點之間電阻的測量方法。利用Comsol multiphysics設計薄圓盤電阻測量平臺，通過在薄圓盤直徑端點設計電極，研究了薄圓盤直徑端點之間電阻隨薄圓盤半徑、電極位置、薄圓盤上小孔位置和大小的變化規律；利用最小二乘法擬合薄圓盤直徑端點之間電阻表達式，實現薄圓盤直徑端點之間電阻間接測量；在典型條件下，利用直接積分測量法對上述測量方法進行驗證，結果表明本文提出的方法誤差較小。本文研究工作對薄圓盤電阻的設計具有指導意義，且該研究方法還可以推廣用于其他形狀電阻的設計。

薄圓盤；電阻；Comsol multiphysics

穩恒條件下導體內電勢/電流的分布、不規則或不均勻導體電阻的測量等都是電磁學應用研究中的基本問題[1，2]。目前，針對高對稱性物體主要通過直接積分測量法計算電阻值，而針對低對稱性物體一般采用數值解法[3，4]。

縱觀國內外公開文獻[5-8]，尚未見到有關薄圓盤直徑端點之間電阻研究的相關報道或文獻，其主要原因是薄圓盤中電流方向和等勢線的關系復雜，其電阻難以直接利用直接積分測量法或數值解法計算。

針對上述問題，本文研究了薄圓盤直徑端點之間電阻的測量方法。首先，利用Comsol multiphysics[9]軟件設計了薄圓盤電阻測量平臺，研究了薄圓盤直徑端點之間電阻隨薄圓盤半徑、電極位置、薄圓盤上小孔位置和大小等因素的變化規律；其次，利用最小二乘法擬合薄圓盤直徑端點之間電阻表達式，實現薄圓盤直徑端點之間電阻間接測量；最后，在典型條件下，利用直接積分測量法對上述測量方法進行驗證。

1 薄圓盤直徑端點之間電阻測量平臺設計

為實現薄圓盤直徑端點之間電阻測量平臺設計，本文利用有限元分析法建立電導率固定、半徑為a的薄圓盤；在薄圓盤上挖一個半徑為r的小孔，并補上不同電導率的介質；在薄圓盤邊緣設計電極，如圖1所示。

圖1 薄圓盤直徑端點之間電阻測量平臺示意圖

在Comsol multiphysics軟件AC/DC模塊中通過設置薄圓盤屬性(半徑、厚度、電導率)、電極位置和半徑、小孔屬性(半徑、位置及電導率)、指定電流輸入端和輸出端建立實驗模型。在Comsol multiphysics軟件后處理模式下研究薄圓盤中電勢、電流分布的模擬效果，并在此基礎上分析不同實驗條件下薄圓盤的電勢、電流變化，實現薄圓盤電阻變化規律研究。

2 薄圓盤直徑端點之間電阻測量方法研究

針對特定材質和厚度的薄圓盤，影響薄圓盤直徑端點之間電阻的主要因素有： (1)薄圓盤半徑；(2)小孔半徑和位置；(3)電極位置。因此，為實現薄圓盤直徑端點之間電阻測量，本文分別研究了薄圓盤直徑端點之間電阻隨薄圓盤半徑、電極位置、薄圓盤上小孔位置和大小的變化規律，并在此基礎上利用最小二乘法擬合薄圓盤直徑端點之間電阻表達式。

2.1 薄圓盤半徑對薄圓盤直徑端點之間電阻的影響分析

為研究薄圓盤半徑對薄圓盤直徑端點之間電阻的影響，本文設置薄圓盤厚度(0.1cm)和電導率(15S/m)、端點電極的位置(如圖1所示)和半徑(0.25cm)、電極輸入電流(1A)不變，圓盤半徑a變化范圍為0≤a≤10cm。根據電極輸入電流及薄圓盤直徑端點之間電勢模擬結果，計算得到薄圓盤直徑端點之間電阻變化規律如圖2所示。

圖2 薄圓盤直徑端點之間電阻隨薄圓盤半徑的變化規律

從計算結果可以看出：薄圓盤直徑端點之間電阻隨薄圓盤半徑的增大而增大。根據計算結果，利用最小二乘法可以得到薄圓盤直徑端點之間電阻R與薄圓盤半徑a之間關系為

R=-1.66×10-3a6+7.63×10-2a5-1.49a4+16.03a3-106.10a2+480.70a+520.10

(1)

擬合結果擬合度為1.0(擬合度越接近1.0表示擬合結果越準確)。

2.2 薄圓盤上小孔半徑及位置對薄圓盤直徑端點之間電阻的影響分析

1) 小孔半徑對薄圓盤直徑端點之間電阻的影響分析

為研究小孔半徑對薄圓盤直徑端點之間電阻的影響，本文設置薄圓盤尺寸(厚度為0.1cm、半徑為10cm)和電導率(15S/m)、端點電極的位置(如圖1所示)和半徑(0.25cm)、電極輸入電流(1A)、小孔位置(位于薄圓盤中心)不變，小孔半徑變化范圍為0≤r≤9cm。根據電極輸入電流及薄圓盤直徑端點之間電勢模擬結果，計算得到薄圓盤直徑端點之間電阻變化規律如圖3所示。

圖3 薄圓盤直徑端點之間電阻隨小孔半徑的變化規律

從計算結果可以看出：薄圓盤直徑端點之間電阻隨小孔半徑增大呈遞增的趨勢；小孔半徑越大，薄圓盤直徑端點之間電阻增大的速度越快。根據計算結果，利用最小二乘法可以得到薄圓盤直徑端點之間電阻R與小孔半徑r之間關系為

R=0.43r6-9.84r5+85.52r4-346.10r3+

666.20r2-472.20r+1929

(2)

擬合結果擬合度為0.9993。

2) 小孔位置對薄圓盤直徑端點之間電阻的影響分析

為研究小孔位置對薄圓盤直徑端點之間電阻的影響，本文設置薄圓盤尺寸(厚度為0.1cm、半徑為10cm)和電導率(15S/m)、端點電極的位置(如圖1所示)和半徑(0.25cm)、電極輸入電流(1A)不變，分別針對小孔位于薄圓盤x軸或y軸上、小孔位于薄圓盤上任意位置兩種情況，研究小孔位置變化對薄圓盤直徑端點之間電阻的影響。

(1) 小孔位于薄圓盤x軸或y軸上

設置小孔圓心分別位于x軸、y軸上，小孔半徑r滿足0.5≤r≤2.5cm。根據電極輸入電流及薄圓盤直徑端點之間電勢模擬結果，計算得到薄圓盤直徑端點之間電阻變化規律如圖4所示。

圖4 薄圓盤直徑端點電阻隨小孔位置的變化規律

圖5 薄圓盤等分示意圖

從計算結果可以看出： ①當小孔位于x軸上時，小孔越靠近薄圓盤邊緣位置，薄圓盤直徑端點之間電阻越大；針對同一小孔位置，薄圓盤直徑端點之間電阻隨小孔半徑的增大而增大；小孔越靠近薄圓盤邊緣位置，電阻隨小孔半徑遞增的趨勢越明顯；②當小孔位于y軸上時，小孔越靠近薄圓盤邊緣位置，薄圓盤直徑端點之間電阻越大小；針對同一小孔位置，薄圓盤直徑端點之間電阻隨小孔半徑的增大而增大；小孔越靠近薄圓盤中心位置，電阻隨小孔半徑遞增的趨勢越明顯。

(2) 小孔位于薄圓盤上任意位置

為研究任意位置小孔對薄圓盤直徑端點之間電阻的影響，本文將薄圓盤分為4個象限，每個象限等分為8份，如圖5所示。設置小孔圓心與x軸的夾角θ(如圖1所示)變化范圍為π/32≤θ≤61π/32、小孔圓心到大圓圓心的距離ρ變化范圍為3.4cm≤ρ≤5.8cm。根據電極輸入電流及薄圓盤直徑端點之間電勢模擬結果，計算得到薄圓盤直徑端點之間電阻變化規律如圖6所示。

圖6 薄圓盤直徑端點電阻隨小孔位置的變化規律

從計算結果可以看出： ①小孔圓心與x坐標軸的夾角越大，薄圓盤直徑端點之間電阻在Ⅰ/Ⅲ象限呈遞減的趨勢，而在Ⅱ、Ⅳ象限呈遞增趨勢。即小孔越靠近y軸，薄圓盤直徑端點之間電阻越小；②當小孔圓心與x坐標軸的夾角相同時，小孔距離薄圓盤圓心的距離越小，薄圓盤直徑端點之間電阻越小。

2.3 電極半徑對薄圓盤直徑端點之間電阻的影響分析

為研究電極半徑對薄圓盤直徑端點之間電阻的影響，本文設置薄圓盤尺寸(厚度為0.1cm、半徑為10cm)和電導率(15S/m)、端點電極的位置(如圖1所示)、電極輸入電流(1A)、小孔位置(位于薄圓盤中心)和半徑(1.5cm)不變，電極半徑變化范圍為0.1≤re≤0.25cm。根據電極輸入電流及薄圓盤直徑端點之間電勢模擬結果，計算得到薄圓盤直徑端點之間電阻變化規律如圖7所示。

圖7 薄圓盤直徑端點電阻隨電極半徑的變化規律

從計算結果可以看出：薄圓盤直徑端點之間電阻隨電極半徑的減小而增大。根據計算結果，利用最小二乘法可以得到薄圓盤直徑端點之間電阻R與小孔半徑re之間關系為

(3)

擬合結果擬合度為1.0。

3 驗證與分析

為驗證上文所述薄圓盤直徑端點之間電阻的測量方法，本文在特定條件下對上述測量方法進行驗證：設置薄圓盤厚度為0.1cm、半徑為10cm、電導率為15S/m，電極輸入電流(1A)，小孔位于圓心、半徑為4.5cm，端點電極半徑為0.25cm，電極內切于薄圓盤、外切于小孔(如圖8(a)所示)。此時薄圓盤直徑端點之間的電阻R相當于兩個并聯的薄長方體的電阻(如圖8(b)所示)，利用上述方法可計算得到直徑端點之間的阻值R為19898.61847Ω。

圖8 特定條件下電極位置示意圖(a) 電極位置示意圖; (b) 薄圓盤等效并聯電阻示意圖

(4)

則上文所述薄圓盤直徑端點之間電阻測量方法相對誤差為

(5)

由計算結果可以看出，本文提出的薄圓盤直徑端點之間電阻測量方法的誤差較小。

4 結語

本文借助Comsolmultiphysics軟件，利用有限元分析法實現了薄圓盤直徑端點之間電阻的測量，并在此基礎上研究了不同因素對薄圓盤直徑端點之間電阻的影響。研究結果表明：①本文提出的薄圓盤直徑端點之間電阻測量方法的誤差較小；②當電極參數固定時，薄圓盤直徑端點之間電阻隨薄圓盤半徑的增大而增大；③當薄圓盤參數固定時，薄圓盤直徑端點之間電阻隨電極半徑增大而減小，隨電極與薄圓盤圓心之間距離的增大而減小；④薄圓盤上小孔越靠近y軸，薄圓盤直徑端點之間電阻越小。本文研究工作對薄圓盤電阻的設計具有指導意義，且該研究方法還可以推廣用于其他形狀電阻的設計。

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STUDY ON THE RESISTANCE BETWEEN ENDPOINTS IN DIAMETER OF A THIN DISC CONDUCTOR

Wang Lan1Xi Xiaoqiang2

(1School of Science；2Institute of Internet of Things and IT-based Industrialization, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an Shaanxi 710061)

It was difficult to apply immediate integral to measure the resistance of thin disc conductor. In order to solve this problem, this paper studied the method for measuring the resistance of thin disc by finite element method. Firstly, the measurement platform of thin disc resistance was designed by Comsol multiphysics software. Based on this design of electrode, we studied the relationship between the thin disc resistance and the disc radius, the electrode position, the position and size of the small hole on the thin disc. Then, resistance of thin disc could be measured indirectly by the disc resistance expression, which was fitted by the least square method. Finally, the above measurement method for the resistance of thin disc was verified with immediate integral under the typical condition, and the results show that the error of the method was quite small. This paper was of great significance for the design of resistance of thin disc. In addition, the resistance measurement method could also be promoted the design of resistance of other shapes.

thin disc conductor; resistance; Comsol multiphysics

2016-04-27；

2017-03-10

國家自然科學基金(11275099;11475135)。

王嵐，女，碩士研究生，研究方向為物理方法在信息處理中的應用，563859805@qq.com。

王嵐，惠小強. 薄圓盤直徑端點之間電阻的研究[J]. 物理與工程，2017，27(4)：37-41.