例談中考數學幾何壓軸題的命制方法及創新設計

尚凡青+魏相清

[摘 要]從近幾年中考數學試題的命題實踐出發，總結了中考數學幾何壓軸題的命制方法及創新設計思路。在命制方法方面，主要介紹了幾何壓軸題的命題程序；在創新設計思路方面，著重介紹了基于幾何壓軸題的設計思路的創新考查。

[關鍵詞]中考數學；命制方法；創新設計

新課改以來，中考數學試卷最明顯的特點就是加大了對幾何壓軸題的考查力度，尤其是對探究性幾何題的考查力度。幾何壓軸題的內容豐富，區分度大，涉及知識面廣，已逐漸成為中考數學試卷的重點題型。綜觀近幾年全國各地的中考數學試卷，大家都把幾何題作為中考的經典題和壓軸題，對探究性幾何題的考查無論是考查內容還是考查形式都有所創新，體現了中考數學學科命題思路的靈活性、考查視角的新穎性和考查方式的多樣性。幾何壓軸題能較好的考查學生的數學核心素養和理性精神，體現以素養立意的命題指導思想。在此，筆者以山東省東營市中考數學幾何壓軸題的命制為例，談一談對幾何壓軸題的命制方法及創新設計，以期對中考數學幾何壓軸題的命制及備考提供借鑒。

一、幾何壓軸題的命制方法

在中考數學試卷中，由于幾何壓軸題的分值較高，而且涉及的考點其他題目都容易回避，所以首先命制幾何壓軸題。通過對中考數學試題的研究發現，幾何壓軸題雖然沒有固定的命題方法，但仍遵循一定的命題思路，我們一般按照“選題—改造—變式”的程序進行。

1.利用到各學校視導聽課過程，收集一些比較經典的題目，然后進行創編。

在一次某學校的聽課過程中，有位教師講了這樣一道比較經典的題目，引起筆者的注意，當時收集起來，最終經過創編形成了2017年東營市中考數學幾何壓軸題，題目如下：

如圖，在△ABC中，AB=AC=1，點D、E在直線BC上運動.點D在線段BC的左側，點E在線段BC的右側. 設BD =x，CE = y.

（1）如果∠BAC = 30°，∠DAE = 105°，試確定y與x之間的函數關系式；

（2）如果∠BAC的度數為α，∠DAE的度數為β，當α，β滿足怎樣的關系式時，（1）中y與x之間的函數關系式還成立，試說明理由.

由于此題目比較經典，命題組經過思考編制了如下的2017年東營市中考數學的幾何壓軸題第一稿，題目如下：

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點D是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），在AC上取一點E，使∠ADE=45°.

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）設BD=x，AE=y，求y關于x的函數關系式及自變量x的取值范圍；

（3）當△ADE是等腰三角形時，求AE的長.

后來，由于考慮到等腰直角三角形有點特殊，于是繼續修改，便形成了2017年東營市中考數學的幾何壓軸題最終稿，題目如下：

如圖，在△ABC中，∠BAC=120°， AB=AC=2，點D是BC邊上的一個動點（不與B、C重合），在AC上取一點E，使∠ADE=30°.

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）設BD=x，AE=y，求y關于x的函數關系式及自變量x的取值范圍.

（3）設當△ADE是等腰三角形時，求AE的長.

2.利用各地的模擬題、中考題為原題進行創編

幾何壓軸題的命制有時通過對原中考題或模擬題進行的改造，2016年東營市中考數學幾何壓軸題便是對一道模擬題進行的改造并最終成稿的，原題如下：

如圖l，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點D、F分別在A B、AC邊上，此時BD=CF，BD⊥CF成立.

（1）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉θ （0°<θ<90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

（2）當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長BD交CF于點G.

①求證：BD⊥CF；②當AB=4，AD= 時，求線段BG的長.

經過對題目仔細研究發現，如果對圖形進行適當的改變，如原圖中“三角形大、正方形小”，換成“正方形大、三角形小”結論是否仍然成立呢？命題人員利用幾何畫板驗證，結論仍然成立。此題具有改造的空間，于是便形成了2016年東營市中考數學幾何壓軸題，題目如下：

如圖l，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點B、C分別在邊AD、AF上，此時BD=CF，BD⊥CF成立.

（1）當△ABC繞點A逆時針旋轉θ （0°< θ <90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

（2）當△ABC繞點A逆時針旋轉45°時，如圖3，延長DB交CF于點H.

①求證：BD⊥CF；②當AB=2，AD=3 時，求線段DH的長.

二、中考數學幾何壓軸題的創新設計

邏輯推理是學生發展所需的重要的數學核心素養，回想2014年中考數學幾何壓軸題的命制，當時設想是：改變前幾年的舊習，結合初中數學四維目標的設定，以純幾何探究為主，適當強化幾何推理能力的考查。由于壓軸題一般要求：“起點低，入手易，逐漸增加坡度，區達到區分度大”，使基礎知識好、數學素養好的學生能脫穎而出。為此，2014年東營市中考數學幾何壓軸題的命制是以課本練習題目為原型進行的創新設計。

原始模型（人民教育出版社義務教育教科書八年級下冊P69頁第14題）：

如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線于點F，求證AE=EF.（提示：取AB的中點G，連接EG.）

思考1：能否通過旋轉不變性，同時結合考查學生的作圖能力進行創編題目？于是便有了下面的第一稿：

如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點且∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F，取邊AB的中點G，連接EG.

（1）求證：EG=CF；

（2）將△ECF繞點E逆時針旋轉90°，問旋轉后CF與EG是什么位置關系，請進行證明， 并在圖中畫出旋轉后的圖形.

上面的第一稿題目雖然滿足預設，但是略顯簡單。

思考2：由于點E是邊BC的中點，具有特殊性，能否通過對點E的位置變化進行創編題目？于是便有了下面的第二稿：

如圖，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F.請你認真閱讀下面關于這個圖的探究片段，完成所提出的問題.

（1）探究1：小強看到圖1后，很快發現AE=EF，這需要證明AE和EF所在的兩個三角形全等，但△ABE和△ECF顯然不全等（一個是直角三角形，一個是鈍角三角形），考慮到點E是邊BC的中點，因此可以選取AB的中點M，連接EM后嘗試去證△AEM≌EFC就行了，隨即小強寫出了如下的證明過程：

證明：如圖1，取AB的中點M，連接EM.

∵∠AEF=90°，

∴∠FEC+∠AEB=90°，

又∵∠EAM+∠AEB=90°，

∴∠EAM=∠FEC.

∵點E，M分別為正方形的邊BC和AB的中點，

∴AM=EC，

又可知△BME是等腰直角三角形，

∴∠AME=135°.

又∵CF是正方形外角的平分線，

∴∠ECF=135°，

∴△AEM≌△EFC（ASA），

∴AE=EF.

（2）探究2：小強繼續探索，如圖2，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上的任意一點”，其余條件不變，發現AE=EF仍然成立，請你證明這一結論.

（3）探究3：小強進一步還想試試，如圖3，若把條件“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC延長線上的一點”，其余條件仍不變，那么結論AE=EF是否成立呢？若成立請你完成證明過程給小強看，若不成立請你說明理由.

上面的創編題目，考查了特殊到一般的數學思想，同時還讓學生進行應用，已經起到了很好的創新效果，但是學生的做題能力沒有得到考查。

思考：正方形具有這樣的性質，換一種圖形，如正三角形是否仍然滿足上述性質呢？通過幾何畫板進行度量驗證，仍然成立，于是便創編生成了2014年東營市中考數學幾何壓軸題，題目如下：

【探究發現】如圖1，△ABC是等邊三角形， ，EF交等邊三角形外角平分線CF所在的直線于點F.當點E是BC的中點時，有AE=EF成立；

【數學思考】某數學興趣小組在探究AE、EF的關系時，運用“從特殊到一般”的數學思想，通過驗證得出如下結論：當點E是直線BC上（B、C除外）任意一點時（其它條件不變），結論AE=EF仍然成立.

假如你是該興趣小組中的一員，請你從“點E是線段BC上的任意一點”；“點E是線段BC延長線上的任意一點”；“點E是線段BC反向延長線上的任意一點”三種情況中，任選一種情況，在備用圖1中畫出圖形，并進行證明.

【拓展應用】當點E在線段BC的延長線上時，若CE = BC，在備用圖2中畫出圖形，并運用上述結論求出的值.

上面的題目是以教材練習題目為原型進行的創新設計，既考查了三角形全等的知識也考查了三角形相似的知識，同時考查了學生的作圖能力，考察面較廣。整個題目的創編過程富有創新性。可以說，此題是2014年東營市中考數學試題中一道亮麗的風景線！

三、命制幾何壓軸題的注意事項

命制一道高質量的幾何壓軸題難就難在它的創新性和開放性。創新性可以提高題目的新穎性，開放性能有效開闊學生的思維，通過問題讓學生多思少寫。因此要命制一道好的幾何壓軸題還必須注意以下幾點。

1.應加大對學生核心素養的考查力度

中考幾何壓軸題應加大對學生核心素養的考查力度，注意學科的內在聯系和知識的綜合，因地制宜地編制一些針對性強、適合學生學習訓練的數學問題，或者精選一些比較成功的幾何壓軸題，有目的的將它們進行組合或改編，有意識的培養學生的核心素養。

2.加強對中考試題的研究

中考幾何壓軸題常出常新，每年都有新題出現。因此，收集整理全國各地的中考數學試題，了解各地中考幾何壓軸題的命題趨勢，從中尋找靈感，篩選出有亮點的新題，尤其是在變化過程中尋找不變性，并進行仔細研究，通過不變的性質，將陌生的問題轉化為熟悉的問題，進而創編出高質量的幾何壓軸題。

3.注重對命題素材的積累

素材積累的越多，命題選擇的余地就越大，命題思路就越開闊，試題的新穎度就越高。因此，我們要認真研讀《中學數學教學參考》等雜志，注重收集整理其中有價值的新信息、新素材、新題型，及時做好命題素材積累。

4.命制的幾何壓軸題要滲透數學思想方法

要想使學生“做一題，會一類”，命制的幾何壓軸題要滲透數學思想方法，如數形結合思想，通過直觀的圖形變換揭示不同圖形間的共性，進而運用化歸思想進行轉化，從而獲得化歸的切入點，做到舉一反三，融會貫通。

隨著中考命題改革的不斷深化，幾何壓軸題的命制思路也會更加靈活，如何對幾何壓軸題進行創新設計，已經引起越來越多的命題人員的重視，幾何壓軸題設計的技巧和方法也不斷得到發展和完善，也期待有更多構思巧妙、設計新穎的好題呈獻給廣大師生。

參考文獻：

[1] 張建躍. 數學學習與智慧發展[J]. 中學數學教學參考：中旬，2015（7）：4-10.

[2] 魏相清. 對兩道高考模擬題的解法反思[J].中學數學教學參考，2015（11）：33-35.