促進兒童數學理解的策略研究

張秋爽

【摘要】會解題、會計算、會證明，不是數學學習的全部，數學理解要求學習者還要進一步反思為什么要這樣做、怎樣做，運用了什么樣的思想方法等。課題從數學理解的內涵、價值，促進兒童數學理解的策略以及如何評價兒童數學理解的程度和層次等方面進行了嘗試。數學理解的實踐研究有助于教師更新教育理念，落實課改精神，改變教與學的方式，尊重學生，提高教師和學生的反思能力，幫助師生更好地理解數學知識，在學生經歷知識的形成過程中，促進學生對知識的整體構建，提升兒童的數學素養。

【關鍵詞】數學理解內涵 策略評價 走向

目前的課堂教學中，很多教師為了應付考試，過于強調對定義、定理等的灌輸與記憶，不注重讓兒童體驗知識發生、發展、運用的過程。思想上按部就班地重復練習，最終只是知道數學，而不能真正地理解數學、運用數學。這種教學上常采用的“題海戰術”，不僅讓學生感到筋疲力盡，根本無法深入思考、理解，造成兒童理解水平不高，甚至對數學感到厭惡，而且他們的數學思維得不到有效發掘，數學思想方法也得不到有效利用，最終導致兒童對問題只會一題一解地個別解決，忽視解題的思維過程。

會解題、會計算、會證明，不是數學學習的全部，數學理解要求學習者還要進一步反思為什么要這樣做、怎樣做，運用了什么樣的思想方法；還要把學習的視野拓展到數學家在發現數學知識的過程中經歷的思想變化、數學發展的文化、數學本質等。尊重學生，提高教師和學生的反思能力，幫助學生更好地理解數學知識，促進學生對知識的整體構建，幫助學生經歷知識的形成過程，從而促進學生數學素養的提高。在小學數學課堂教學中，讓兒童獲得數學理解的策略有哪些呢？

一、借助經驗，重新建構新知識的學習，讓數學理解更容易

有意義的數學學習就是引導兒童對生活中的“數學現象”進行“重新解讀”。課程規定的數學知識，對兒童來說并不是“全新的知識”，在一定程度上是一種“舊知識”。新知識大都可以在兒童的生活經驗中找到原型，在知識經驗中找到生長點。

比如：小學三年級中的 “重疊問題”，也就是我們常說的“集合問題”， 對于低年級學生來說比較抽象，甚至難于理解。如何使兒童產生親切感，能夠比較深刻地理解數學，把似乎遙遠的數學變得“觸手可及”，把抽象的數學變得“直觀可見”，使之愛學、能學、會學呢？教學中，我們想辦法調動并激活兒童原有的經驗，走近數學，理解數學。

上課伊始，我們就從兒時熟悉的“排隊問題”開始引入新知識的學習。

“李明同學在一列隊伍中，從前邊數他是第5個，從后邊數他也是第5個。這列隊伍一共有多少人？”課堂上出現了三種答案，分別是10人、11人、9人。教師不動聲色，只是追問了一句：“怎樣證明你的結論是正確的，你們有什么好辦法解釋嗎？”學生們有的擺小棒，有的畫圈圈，有的寫算式計算……

5+5-1=9 4+4+1=9

直觀的圖畫詮釋著學生們對數學的理解，圖形與算式相結合，使抽象的數學變得直觀、清晰，便于理解。尋找生活原型，通過對各種不同結果的直觀詮釋，為即將開始后續“集合問題”的學習奠定了重要的基礎。這些學前積累下來的生活經歷，在小學階段的數學學習中獲得重新認識和解讀。我們認為，兒童數學學習就是對原有經驗的重新建構和解讀。

二、重視直觀，讓兒童知其然更知其所以然

在小學教學中，概念的理解、法則的習得、問題的解決等都離不開直觀，重視直觀，處理好直觀和抽象之間的關系，能讓學生學得簡單、有趣和深刻，做到通過現象看本質。以計算為例，學生不僅會算，更重要的是理解為什么這么算，需要教師在算理直觀與算法抽象之間架設一座橋梁，讓學生在充分體驗中逐步完成“動作思維—形象思維—抽象思維”的發展過程，既要明白怎么算，更要清楚為什么這么算。

三年級學習“乘法的豎式計算”時，如12×3，學生都知道先算二三得六，再算一三得三，這里的三寫在十位，是30，結果是36。為什么這么算？就沒有別的算法了嗎？我們可以讓學生經歷知識的形成過程，讓學生掌握方法性知識。教學簡單流程如下：

（1）出示情境：學校舉行運動會開幕式，三（1）班有12排，每排3人，一共有多少人？

（2）用圖畫表示計算的過程。

方法一：

12×3=3×6×2=36（人）

【解讀：能夠把未知轉化為已知去解決，這是學生具有數學素養的體現。把12分成2個6，是一種分與合思想；學生已經學過表內乘除法，三六十八，2個18就是3個12，在學生重新分組的過程中還蘊含著函數的思想；把兩個數相乘轉化為三個數相乘，是乘法結合律的具體應用，學生雖然沒有正式學過，但已經自覺地應用了，這為今后學習乘法結合律提供了感性支撐?！?/p>

方法二：

3×9=27（人）

3×3=9（人）

27+9=36（人）

【解讀：學生能夠運用直觀圖把兩位數乘一位數轉化為表內乘法，12可以分成3和9，12還可以分成4和8，12還可以分成5和7；都可以應用表內乘法口訣求出結果，最后合起來。其實，這是乘法分配律的具體應用，乘法分配律對于學生來說，掌握起來比較難，對于難點要早做準備、多舉實例、適當分散。更重要的是體現知識之間的內在聯系，做到了前有孕伏，后有照應?！?/p>

方法三：

10×3=30（人）

2×3=6（人）

30+6=36（人）

【解讀：學生把12分成一個十和2個一，似乎看起來與方法二沒有區別，也在自覺地應用乘法分配律，實際上是質的飛躍。數的運算過程仍舊是數認識的繼續和延伸，數的認識核心思想是十進位值制，所以把12分成10和2就是十進位值制在數運算中的應用。】

（3）比較三種方法的異同點

三種方法都是利用數的分解與組合，把沒學過的知識轉化成已學過的知識解決問題。三種方法都能解決問題，其中把12分成10和2計算比較簡便。

通過幾何直觀，讓學生體會了算法的多樣化，理解了豎式計算的算理：先算2個3，再算10個3，合起來就是12個3，掌握計算的方法。這里既有對乘法意義的鞏固，也有對數認識中十進位值的應用，尤其是分與合的思想滲透其中，讓學生知道計算12×3有很多方法。在這眾多方法中哪一種方法是最簡便的，讓學生經歷了知識的形成過程，做到了知其然更知其所以然，掌握了通性通法，為后面學習兩位數乘兩位數、多位數的乘法做好了鋪墊。

三、凸顯關系，讓數學理解落到實處

在建立新舊知識聯系的動態過程中，打破原有的認知平衡，將數學對象的心理表象進行改造、整理甚至重組；通過新舊聯系的建立，舊的聯系被調整甚至拋棄，進而達到新的平衡，形成新的、更豐富的知識網絡，從而也就實現對新的數學對象的理解。“數學概念的理解，是指它成為學習者內部心理網絡的一部分……理解的程度是由結構內容聯系的數目和強度來確定的。”

斯根普1976年明確提出了事物的理解有兩種模式：工具性理解和關系性理解。小學數學的許多概念、法則、定律的學習都是有聯系的，教師要創設情境在新授課中獲得關系性理解，在復習課上通過梳理提升獲得對知識的結構性理解。

以數概念為例，在小學階段，學生要結合生活情境，認識自然數、小數、分數、負數等數概念。認數的維度有兩個層面，一個是數的組成的維度，另一個是結合生活情境認識數，感受數概念。數是由計數單位和個數累加而形成的。1234是由1個千、2個百、3個十和4個一組成的。認數時單位非常重要，個數也不容忽視。我們先來說計數單位，自然數是以1為單位，不斷復制、累加得到的；分數就是把“1”均分成若干份，就得到了分數。其中把“1”均分成10份、100份、1000份……后就產生了特殊的分數，也就是一位小數、兩位小數、三位小數等。實際上，小數是十進分數，小數和自然數一樣，有著相同的認數結構，都體現了十進位值。學生用自己喜歡的方式表示對數概念的理解，尤其是計數單位個數的累加或繼續均分的過程，溝通了自然數、小數和分數間的內在聯系，有助于學生形成良好的認知結構。

四、舉例解釋，注重多元表征間互譯

對概念的理解體現在學生能用自己的例子解釋說明，能從多個角度描述，而且多個角度之間能夠相互轉化，這樣對概念的理解就能做到融會貫通了。

一億到底有多大？學生都會背：十個一千萬是一億。然而會背就真的知道一億有多大嗎？還需要從生活中尋找例子，讓學生獲得對數概念的真正理解。一億張紙摞起來有多高？1萬張紙摞起來大約有1米高，以此類推，1億張紙摞起來大約有1萬米，比珠穆朗瑪峰還高；一秒點一個小圓點，點60個小圓點需要1分鐘，不吃飯不睡覺不玩游戲，點1億個小圓點需要三年零兩個多月，也就是說從你上小學第一天起，到現在四年級開學了，還有一些沒點完呢；一枚1元硬幣重6克，一億枚一元硬幣重6000噸，相當于1000頭大象的體重之和。

請你結合4×8+6×8=（4+6）×8這個算式，解釋乘法分配律。（可以畫圖、舉例或從乘法意義等方面進行說明）

（1）從生活事件中尋找數量關系進行解釋：

（2）借助幾何直觀解釋：

（3）利用乘法意義解釋：

4個8+6個8=10個8。

五、拓展應用，能解決新情境下的問題

數學中許多概念、問題學完之后，能在新情境下靈活應用和遷移，才是創造性理解。也就是我們期待學生會舉一反三。在不同情境中能應用知識解決問題的最大價值在于對所學知識的進一步理解和鞏固。

課本中“雞兔同籠”的例題是這樣的：

學習了“雞兔同籠”問題，就能解決自行車和三輪車放在一起的問題，就會做蜘蛛和蟬放在一起的問題，也能處理龜鶴問題，還能解決乒乓球比賽中單打和雙打的問題。如：

（1）把21塊月餅放入5個盤中，每個大盤放5塊，每個小盤放3塊，用（ ）個大盤、（ ）個小盤正好。

（2）20元和50元紙幣共10張，一共是320元，有幾張20元的？幾張50元的？

（3）蜘蛛有8條腿，蝴蝶有6條腿。蜘蛛和蝴蝶共有9只，共有腿60條。你知道蜘蛛和蝴蝶各有多少只嗎？

（4）乒乓球賽場上有8張乒乓球臺。要同時安排26人進行單、雙打比賽，應該安排幾組進行單打比賽？幾組進行雙打比賽？

……

數學理解就是從以往關注概念的機械背誦到注重關系性理解。理解數學要求學習者進一步反思與理解為什么要這樣做、怎樣做，運用了什么樣的思想方法等，同時建立良性的數學觀，通過數學去理解生活、觀察世界，具備較高的數學素養。通過這種方法獲得的數學概念、法則更有用、更具理解力。數學理解是實現課堂教學質量“增值”的重要途徑。作為一名教育工作者，提升學生對數學的理解層次和能力，讓學生能用數學的思維方式解決現實問題，提升生活質量才是數學課堂的正確方向。

注：本文系北京教育學會十三五課題“促進小學生數學理解的實踐研究”（課題編號sy2016-175）的研究成果。