創生“學材”，讓思維富有張力

朱裕華

【摘要】學生學習的目的不單純是為了掌握知識，而是通過與學習材料的對話，去感受、經歷、體驗、思考，最終獲得屬于自己的認知和思維。這就需要教師以兒童為中心，關注學生每一次文本質疑、活動體驗、經驗積累、方法重塑的過程，由教材本位走向創生視野的學材建設，不斷提高學生的思維能力，提升學生的數學素養。

【關鍵詞】創生 學材 思維

學生學習的目的不單純是為了掌握知識，而是通過與學習材料的對話，去感受、經歷、體驗、思考，才能最終獲得屬于自己的認知和思維。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“創造性地使用教材，積極開發、利用各種教學資源，為學生提供豐富多彩的學習材料。”這就需要教師以兒童為中心，關注學生每一次文本質疑、活動體驗、經驗積累、方法重塑的過程，由教材本位走向創生視野的學材建設，不斷提高學生的思維能力，提升學生的數學素養。

一、文本質疑，突破思維的“常”

教材是教學內容的載體，在學習的過程中，受學生已有生活經驗和知識經驗的影響，學生與教材的對話是精彩紛呈的、個性化的、有時甚至是批判性的。教師深度引領下的文本解讀，往往會收獲“意料之外”的學材生成。

學習“統計表和統計圖”（蘇教版四年級上冊）時，教材在例題后安排了一個現場調查，并給出了調查建議和填寫圖表（如下圖）。

師：教材上建議我們先小組調查再全班匯總，你們覺得這個方法好嗎？

生1：挺好的，可是我還想了解每個同學的喜好情況。（大部分學生表示認同）

師：哦，你們是想既要完成匯總又能了解到每個同學的情況。那你們想怎么調查？

生2：可以讓每個同學依次報出自己喜歡的節目，用剛學習的畫“正”字法記錄。

生3：還可以用舉手的方法，讓最喜歡科普類的先舉手，數出人數，再讓最喜歡綜藝類的舉手，以此類推。

生4：舉手的方法我補充一點，不能重復舉，不然就統計不準了。

師：那大家商量一下，更愿意采取哪種方法？（學生大部分選擇畫“正”字的方法，覺得這個方法不容易出錯）

我班共42人，最后統計結果是：科普類9人，綜藝類24人，動畫類6人，體育類3人。要將這個結果繪制到條形統計圖中，意外出現了：

生（眾）：老師，這個統計圖的縱軸上最多20人，畫不下啊。

師：看來專家也沒料到我們班會出現這樣一個統計結果。那該怎么辦呢？

生1：可以在頂上添4格。

生2：不對，這里一格代表2人，綜藝類多出了4人，添2格就夠了。

師：添是一個不錯的辦法！可書上也沒預留空位給大家添啊，不添能解決這個問題嗎？

生陷入了沉思。

生3（猛地舉起了手）：可以把縱軸上的每格改為表示3人，那這樣就畫得下了。（受到他的啟發，其他同學頓時眼前一亮，繼而發出了熱烈的掌聲）

……

調查不僅只是為了得到統計結果，還應分享統計過程所反映的信息，學生一開始就給我以沖擊。他們大膽提出自己收集數據的方法，棄用了書上的小組統計表，直接畫“正”字統計到班級統計表中，當統計結果意外地不在書本的預設范圍時，更是敢于向書本權威挑戰，改變縱軸上一個單位長度所表示的人數，從而順利完成統計圖的制作。“這真是一次有意義的調查，這真是一次勇敢的挑戰！”我由衷地給這群可愛的學生們點贊：“你們不拘泥于教材提供的方法和圖表，敢于突破常規，真正做到了讓教材為我所用。”學生們也真情地回應：“我的統計我做主，我的課堂我做主。”

“教材無非是個例子。”它為學生提供了學習的內容，但無法規定學生思考的邊界，對文本的質疑，恰恰讓我們驚喜地聽到了思維“破壁”的聲音！

二、活動體驗，創設思維的“場”

“要讓學生在學習活動中體驗和理解數學。”數學理解，尤其是數學概念的理解，只有為學生提供充分的活動體驗材料，才能讓學生在認知結構與思維結構之間架起一座無形的橋梁，達到知情合一的學習。

如《三角形的認識》一課，一位教師為了幫助學生認識“什么是三角形”，組織了一系列活動。

活動（一）：畫三角形，初步發現三角形的特征。

師：試著自己畫一個三角形。（學生操作后實物投影展示交流）

生1：先畫一條線，再畫一條線，然后畫第三條線。（邊說邊在自己所畫的三角形上比畫）

師：你畫了幾次？（3次）這三條都是直直的——（線段）。

生2：我是先確定三個點，依次把三個點連起來畫出了一個三角形。

生3：我是先畫了一條線段，再在線段外定了一個點，將這個點依次和線段的兩個端點連起來。

師：同學們真棒，用這么多不同的方法畫出了三角形，雖然畫法不同，但哪些方面是一樣的？（引導認識：都有三個點、三條線段、三個角）

呈現學生中出現的錯例：一個一邊畫出頭的三角形、一個兩邊沒接住的三角形。師：這兩個是三角形嗎？為什么？（引導學生進一步認識到：三條線段要“首尾相接”）

活動（二）：判斷凸顯三角形特征，建立概念。

師：下面一組圖形，哪些是三角形？哪些不是？為什么？

學生觀察、判斷并說明理由（略）。

師：那現在你們能說說到底什么是三角形了嗎？

在學生進行了充分的表達后指出：三條線段首尾相接圍成的圖形叫三角形。

引導學生認識三角形的邊、頂點和角。

活動（三）：再畫三角形，研究三個頂點的位置關系，豐滿概念。

出示問題：右邊的方格紙上有4個點，從這4個點中任選3個作為頂點，都能畫一個三角形嗎？你有什么發現？

（展示學生所畫的不同的三角形）師：這些所畫出的三角形，在選擇頂點的時候有什么共同的地方？

生：都選到了點A。

師：這是巧合還是必須選到點A？

生：必須選到點A，因為點A跟點B、C、D不在一條直線上。

師：任取一個我們畫出的三角形，想象一下點A還可以在哪里也能圍成三角形？

交流發現：只要三個頂點不在同一條直線上就能圍成一個三角形。

三角形概念的建立應是一個逐步抽象概括的過程，在這一環節，教師組織了豐富的活動。先讓學生試畫三角形，通過交流認識不同畫法中的共性，即三角形都有三條邊、三個頂點和三個角，使學生獲得對三角形特征的初步感悟。接著通過判斷，使學生進一步明晰三角形的表象，并讓學生用自己的語言來說說什么是三角形，以兒童的視角來解釋、抽象三角形，逐步完善概念。然后再畫三角形，讓學生在再次操作的基礎上，展開想象，發現：只要三個頂點不在同一條直線上就能圍成一個三角形，使學生對三角形的認識趨于深刻。

通過經歷這樣充分的操作、觀察、發現、思考、交流活動，使學生始終沉浸在“什么是三角形”的思維場中，學生的思維不再是被架空的，而是可觸摸的、豐滿的。

三、經驗積累，促進思維的“變”

數學學習是一個經驗不斷積累、修正和完善的過程。基于某一數學模型的創生和發展過程，為學生選擇和提供類似的、系列化的學習材料，為學生培植經驗生長的土壤，“讓學生學會用數學的語言表達世界”。

教學“乘法分配律”時，一位教師改變了書本例題，利用幾何直觀展開教學：

師：熊出沒農場有一個長方形果園，原來長80米，寬20米，擴大規模后，長增加了30米。現在這個果園的面積有多大？（如下左圖）

引導學生用不同的方法求兩個果園的面積和，并形成等式。

師：如果由你自己決定長增加的米數，你決定增加幾米？準備用哪兩種方法解決這個問題？能像上面一樣寫出一個等式嗎？（如上右圖）

學生自主探索，教師選擇部分學生得出的等式交流板書。

師：比一比，等號左邊的算式和右邊的算式有什么相同和不同的地方？（引導學生初步感知乘法分配律模型，略）

師：熊出沒農場中還有幾塊菜地（如下圖），如果讓你從這四塊長方形菜地中任選兩塊拼成一塊大的長方形菜地，你會怎么選？你還能通過算出它們的面積和，得到黑板上這樣的等式嗎？

學生活動，交流呈現兩種拼法及相應的等式。

師：為什么有的菜地拼在一起可以寫出一個等式，而有的不行呢？（將交流指向乘法分配律的本質，有一個數相同，理解乘法分配律模型，略）

師：這是菜地圖的一種拼法，如果用字母a、b、c來表示這兩個長方形的長和寬（如圖）。此時又可以寫出怎樣的等式？

板書：（a+b）×c=a×c+b×c。

師：這個規律在數學上叫作“乘法分配律”。

師：這里的a、b、c還能表示哪些數？

……

本例中，教師首先引導學生計算“現在這個果園的面積有多大”，讓學生親歷等式形成的過程。接著，將“增加30米”變為不確定量“（ ）米”，讓學生自由編寫等式，這一變夯實了學生得到等式的經驗，并初步感悟等式兩邊算式的聯系及特征。然后，出示4種不同規格的長方形（其中三塊兩兩之間或者長相等或者寬相等，一塊長與寬都不相等），這一變變在了學生思維的關鍵處，對學生從本質上認識乘法分配律（即乘法分配律中必須有相同乘數）起到了關鍵作用。最后，將具體數據抽象成字母，在“式”與“形”與“數”的結合中，推而廣之，使學生從更一般的層面上認識乘法分配律，完成模型的建構。

為使學生有效建構乘法分配律這一數學模型，教師精心安排了一系列學習材料，通過相似素材的局部變化，促使經驗不斷生長，捕捉和預設思維的變化點，順利實現思維的提升。

四、方法重塑，交織思維的“網”

數學知識之間有很多重要的聯系，有的往往又隱藏于看似簡單的知識背后，有時是一道習題，有時是一個已經明了的知識鏈。深度挖掘這些簡單知識背后的關聯處，只要一個得當的學習材料便能承載思維之重。

“平面圖形的面積關系”的復習課中，浙江省特級教師張翼文老師就引領學生展開了一次新的探索。

活動材料及要求：請在格子圖中畫出高為4cm，面積為20cm2的梯形（每個小正方形的邊長是1cm）。

學生活動，明確：上下底之和為10cm，高4cm不變。

展示學生畫出的不同梯形，如：上底4cm下底6cm，上底3cm下底7cm，上底2cm下底8cm，上底1cm下底9cm。（順次板貼如上四種梯形）

師：只有這四種嗎？

生1：還可以是上底1.1cm，下底8.9cm。

生2：上下底可以是整數，還可以是小數、分數。

引導繼續舉例，并板貼：上底0.9cm下底9.1cm，上底0.8cm下底9.2cm……上底0.2cm下底9.8cm，上底0.1cm下底9.9cm（高4cm）的梯形。

師：這樣的梯形還有嗎？有多少個？只要滿足什么條件？

生：這樣的梯形有無數個，只要保持上、下底的和為10cm。

師：請你靜靜地看過去（指板書中梯形的呈現順序），有什么發現？

交流兩個維度的觀察：看數據，上底越來越小，下底越來越大；看圖形，越來越像三角形。

想象：A和B越來越靠近，當A和B重合時，就變成了——三角形。

推理：S=（a+b）h÷2→b=0時→S=ah÷2，所以，梯形的面積計算公式對三角形同樣適用。

再想象：如果上底變大，下底變小，當上底和下底相等時，就變成了——平行四邊形。

再推理：S=（a+b）h÷2→a=b時→S=2ah÷2=ah，所以，梯形的面積計算公式對平行四邊形同樣適用（長方形是特殊的平行四邊形，也適用）。

追問：a和b怎樣時，就是梯形？（a和b不相等時）

復習并不是對已學知識的簡單呈現和疊加，而應是在原有知識基礎上的延伸和發展。教師通過一個畫圖活動，在學生自主活動、展示交流的基礎上，有序呈現等積等高、上下底逐漸變化的梯形。然后引導交流、想象、推理，巧用直觀，扣準變化趨勢，引導學生深度思考這三個面積計算公式之間的內在聯系。如果說新知學習時長方形——平行四邊形——三角形、梯形的推導經歷是知識的分（發展）的過程，那么這次復習則是把這些公式再次統整的合（融合）的過程。兩次學習歷程，看似是兩條不同的思維通道，實則它們之間密不可分，相互交織，已然在學生頭腦中交織成了一張更大的思維網。

由一道常見的畫圖題引領學生想開去，回眸梯形、三角形、平行四邊形的面積計算公式，讓思維的觸角延伸再延伸，這一學習材料雖然簡單卻極其厚重！