分析函數思維在中學數學解題中的應用路徑

【摘 要】筆者對函數思維的定義及基本特點進行分析，利用函數思維將中學數學題中的數學對象進行關系轉化，并對中學數學中的某些數學例題以函數的方式進行解答，以此探索出函數思維在中學數學解題中的應用路徑。

【關鍵詞】函數思維；中學數學；數學解題；應用路徑

從數學解題思維的角度上來看，其主要解題思維有抽象思維、函數思維、具體思維及直覺思維。其中函數思維在數學解題當中非常重要，它注重于對數學中的各個數學對象的聯系和轉化方式以函數的形式進行表達，能夠充分的體現出數學題目中的本質變化，使學生能夠有效的利用函數思維進行數學題目的解答，并能從中探索出更加靈活豐富的解題方法，極大提升了學生的數學能力。

一、函數思維定義分析

蘇聯偉大的思想導師恩格斯曾在《自然辯證法》這一著作中提到，自然界之所以是變化的，不是其本身產生了變化，而是人的思維與智力產生了改變才發生變化的。在此書中，他重點提出了思維變化及改變的重要性。而函數最為本質的東西就是變化，它是變量之間關系和相互轉化的一種表達形式。在數學當中，通過函數思維能夠清晰的表達數學對象之間的聯系與轉化。針對函數思維的定義，許多著作都對函數有著不同的理解，但無論哪種理解，它們的宗旨都是希望利用函數思維來掌握數學對象及性質間的相互聯系與轉化關系，并將其應用到數學解題當中去，以此探索出更加豐富靈活的數學解題方法和解題思路。

二、函數思維的基本特點

（一）辯證性

函數思維具有辯證性，它可以說是辯證思維中的一種，旨在通過探索數學問題中數學對象的聯系和轉化關系，以此對其進行研究和辯證，加深對數學對象的關系理解，并研究出豐富多樣的解題方法，實現對數學對象的動態認識，通過函數思維的滲透，能使學生大幅提高對數學的鉆研能力和解題能力，并且培養了學生的辯證精神。

（二）邏輯性

在數學解題當中，邏輯性非常重要，函數思維也一樣要求邏輯性，邏輯性可以說是數學解題思想的最基本形式，只不過在其他三種思維中，只是強調對邏輯性進行調整及統一，但卻缺少變化性，缺乏數與形的結合與轉化，而在函數思維當中則非常注重這一點，它能夠通過函數關系將代數和幾何進行有機結合起來，從而探索出豐富的解題思路與方法。

（三）變化性

函數思維具有變化性的特點，這是函數思維的最基本特點，通過函數思維的不斷轉變，能夠反映出數學問題中所有數學對象的相互聯系及轉變關系，能夠利用函數的形式來表達數學最本質的內涵，并以此來不斷適應數學的不斷發展。而學生也可以充分利用函數思維的變化性特點，不斷研發出更加豐富多樣的解題方法。

三、函數思維在中學數學解題中的應用路徑

（一）函數思維在方程上的應用

例題1：已知A、B、C都是銳角，公式為A+B+C=，求證：

解析：依據例題中的已知項，可以分析出、、都是正數，為了證明這三者的正數之和不大于，可以分析出，必須將這三個根式的關系當成一個整體，然后用字母e，f，g來進行代替，并建立它們的函數關系，例如代入到上述關系式當中，當A+B+C=的時候，即可。

解析：此例題根本上是利用函數關系的建立來將復雜的關系式比做成單一的字母或對象，然后通過已知的條件、定理及概念等，將未知問題轉變為已知問題來進行數學題的解答。

（二）函數思維在不等式中的應用

例題2：已知字母，求證：，證明構造函數[0，+∞]易證，當時，G（m）單調遞增。可求得即

解析：此例題是通過對不等式基本特點進行分析，來構建出輔助函數，并使不等試的證明變為函數增減性來進行分析，以此更加便捷的進行證明。

（三）函數思維在數列中的應用

例題3：求出數列的最大項。解析：通過對進行分析，其可以列出1，……等無盡的實數串，以此來逐個進行分析和比較明顯是不可能的。而利用函數思維將轉化為函數G（m）=，并在[0，+∞]的基礎上進行討論，由于G（m）=，將G（m）=0做為條件，可以得出G（m）在[0，+∞]中的唯一一個穩定點，m=b，當m大于b時，G（m）小于0，而當m小于b時，G（m）大于0，說明G（m）在m=b的位置上取最大值，然后把值d代入到中去，從而得出數列，因為b的值是大于2小于3的，經過比較G（2）和G（3）的大小得出大于，所以，數列的最大項是。

四、結語

本文通過對函數思維的定義及特點進行了分析，闡述了函數思維在數學解題中的重要意義，并利用函數思維來闡述中學數學例題中的數學對象的聯系及相互轉化，并通過中學數學例題的方式，采用函數思維來進行解答，在此基礎上來研究函數思維在中學數學解題中的應用路徑。

參考文獻：

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作者簡介：

劉永紅（1978.11～ ），女，漢族，甘肅人，本科，新疆第六師新湖一中，中教一級，研究方向：中學數學課堂教學改革，中學數學解題研究。