活躍在初中數學的五種數學思想方法

張成芬

摘要：數學的基本結構由數學的知識結構和思維系統兩部分組成。組成數學知識結構的是概念，定理，公式，法則。組成思維系統的則是數學思想方法和思維策略。本文就常見的五種數學思想，在初中數學課程中的特點和作用等方面作一個探討，以期望對數學思想方法的學習和教學，作一點積極作用。

關鍵詞：初中數學 數學思想方法

一、數形結合思想

數形結合思想，包含"以形助數"和"以數輔形"兩個方面，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數問題與圖形問題之間的轉化，它可以使代數問題幾何化，幾何問題代數化，其應用大致可以分為這兩種情形。代數問題轉化為幾何問題時，常把數量關系的問題轉化為圖形的性質問題來討論，即把抽象的數結構與形象的形結構聯系起來，化抽象為直觀，通過對圖形的研究，常能發現問題的隱含條件，誘發解題線索，使求解過程變得簡潔直觀。

例1：已知a

用代數方法解決幾何問題時，方法也是類似的。正如華羅庚教授所說：數缺形時少直觀，形少數時難入微，"數"與"形"存在互補關系。在應用數形結合思想時，要把握一些原則，一是等價原則，要保證是等價轉化。二是要直觀簡潔，如果不直觀簡潔，也就沒有必要使用數形結合了。

二、轉化與化歸思想

轉化與化歸思想，就是在研究出解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化。主要包含四個方面：（1）化未知為已知。（2）化難為易。（3）化繁為簡。（4）化大為小。使用轉化與化歸思想，常見有十種方法：（1）直接轉化法：把原問題轉化為基本定理，公式或圖形問題。（2）換元法。（3）數形結合法。（4）等價轉化法。（6）構造法：構造一個合適的數學模型，讓問題變得容易。（7）坐標化：以坐標計算為工具，用計算來解決幾何問題。（8）類比法：運用類比推理，猜測問題的結論，易于探求。（9）參數法：引進參數，用計算解決問題。（10）正難則反證法。

例2設二次函數 的圖像與x軸交于兩點A，B（A在B左），與y軸交于正半軸點C，如果三角形ABC是銳角三角形，求k的取值范圍，判斷∠A， ∠B大小。

兩點A，B的橫坐標是對應方程的兩根 ，而OC=-（k+4）， ，只要確保OA*OB< 成立，從而∠C為銳角。這樣，求k的取值范圍的問題就轉化為解不等式組問題。

使用轉化與化歸思想解決數學問題一般應遵循兩個原則，一是熟悉化原則。例如學習梯形的中位線的性質，我們把梯形的中位線化歸為三角形的中位線來研究。這是我們熟悉的內容。二是簡單化原則。當然這也是所有問題解決的終極目標。在平時加強針對性的訓練與思維歸納總結是必不可少的。

三、分類與整合思想

分類討論，就是對問題所給的對象不能進行統一研究時，要根據對象的性質差異，按某個標準分成各種情形，即分類，然后對每一類進行處理，最后綜合各類結果得到整個問題的解答。它的實質上是“化整為零，各個擊破”的解題策略。事實上，分類是我們學習初中數學遇到的第一個方法。早在初一學習有理數時，我們就把有理數分成3類.：正有理數，負有理數和零。學習有理數加法時，我們又根據兩個加數的特點分成同號，異號但絕對值不想等，互為相反數，有一個加數為零這4類，最后得到完整法制。

例3，當 -2≤x ≤1 時，二次函數 有 最大值4，求實數m的值.

在給定自變量范圍內，二次函數的最值與對稱軸的位置有關。對稱軸在自變量范圍內，與對稱軸不在自變量范圍內，最值取法不一致，所以應分3類情況討論求解.

哪些問題適合于分類的思想方法求解呢？一般來說涉及到由分類定義的概念，如絕對值，二次方程，三角形，四邊形等等，用于分類研究的定理，性質，公式，法則，如分式運算，判別式等等，進行的某些有限制的運算，如除法，開偶次方等等，計算或推理過程中遇到的數量大小或圖形位置，形狀不確定，均應考慮用分類的思想方法。

分類討論的原則一般應遵循兩個基本原則，一是互斥性原則，分類后每類之間不重復不包含。二是無遺漏性原則，各種情形均應一一考慮，沒有遺漏。

四、函數與方程思想

偉大的數學家笛卡爾，他在《指導思維的法則》一書中提出了一種解決一切問題的“萬能方法”其模式是先轉化數學問題，在轉化為代數問題，最后轉化為方程問題。說明方程的思想方法類似，函數的思想方法就是按RMI原理，把一個數學問題轉化為一個函數的問題，并利用函數的性質研究問題。函數思想的最大特點是從變化，動態的觀點來認識數學對象和它們的性質之間的關系，這樣能夠全面，深入也地認識事物的本質，可適用與數學的各個分支。

例4、某種品牌的內衣進價每件40元，若定價50元，則可銷售500件，獲利5000元，銷售量會減少10件，如果希望銷售這批內衣的利潤達到8000元，應如何定價？如果要獲取最大利潤，應如何定價？

求未知量的問題，首先想到根據等量關系建立方程得（10+x）（500-10x）=8000，可得定價x的值。如果用y替換固定利潤8000，或把x看成變量，則得到一個二次函數的模型，用于解決最值問題。

在函數思想方法中，我們常用的性質包含（1）點在函數圖像上，則坐標滿足函數表達式（2）函數值的大小關系及極值（3）函數的增減性和圖像的對稱性、周期性等。

函數與方程思想是貫穿中學數學的一條線，它是中學數學中永恒的熱點，在運用這種思想時，我們應當注意以下兩點：一是抓主元，即抓主要矛盾，確定變量，二是多從變化觀念看待問題，建立函數模型，從而用函數性質解決問題。

總之，在初中數學教學中應滲透數形結合思想方法，培養學生數學思維能力，使其養成良好的數學思維習慣.數形結合思想貫穿初中數學教學的始終，“以形助數”“以數輔形”，有利于發展學生思維能力，培養學生的數形結合意識，從而提高學生分析問題、解決問題的能力

參考文獻：

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