滲透合情推理，有效激活教材

張彩云+段如甜

【摘要】圓錐曲線作為高考內容考查的重點，是高中學習的主要內容之一。圓錐曲線的第二定義揭示了圓錐曲線的內在聯系，應用圓錐曲線的第二定義解題，不僅能夠提高解題效率還有利于培養學生解決問題的能力。

【關鍵詞】高中數學 圓錐曲線 第二定義 應用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）29-0131-02

現行人教A版高中數學選修1-1教材中圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線，圓錐曲線作為平面解析幾何教學中的重點和難點，一直都是高考中重點考查的內容。圓錐曲線的定義不僅是教材中的基本內容，也是解決一些與圓錐曲線相關問題的一種不可或缺的方法。圓錐曲線的第二定義則把焦點、準線、離心率巧妙的整合在一起，在解決有關問題時，若能應用第二定義，將起到事半功倍的效果。然而，教材中并未明確的給出圓錐曲線的第二定義，只是以例題的形式呈現，內容單薄，容易被學生忽視，如果處理不當，將直接影響學生對圓錐曲線統一定義的理解。同時，介于圓錐曲線第二定義的重要性以及幫助學生建立全面的數學知識體系，在教材的基礎之上，將課本中的例題和習題進行有機的結合，引導學生認識圓錐曲線的第二定義，并進行簡單的應用，具體的教學流程如下：

一、問題的呈現

人教A版高中數學選修1-1第二章圓錐曲線與方程的第一節橢圓中的例6[1]：點M（x，y）與定點F（4，0）的距離和它到直線l：x=■的距離的比是常數■，求點M的軌跡。

這道例題的設計，從本節內容上看，實際上承擔了三個教學目標：一是考查學生對橢圓標準方程的理解程度；二是考查學生求軌跡方程的方法——直接法；三是通過具體的例子使學生感受橢圓的第二定義。

二、教學片斷呈現

（一）在例題6的教學中，首先進行分析解答得到點M的軌跡方程為■+■=1，點M的軌跡是長軸長、短軸長、焦距分別為10、6、8的橢圓，此時教學目標一、二實現。其次，引出橢圓的第二定義，設計如下：

問題1：請學生獨立完成課本43頁習題B組第2題：點P與定點F（2，0）的距離和它到直線l：x=8的距離比是1：2，求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形？

生1：點P的軌跡方程：■+■=1，點M的軌跡是長軸長、短軸長、焦距分別為8、4■、4的橢圓。

問題2：請學生找出例題6與習題有哪些共同點？

生2：題目模式一樣，都是動點到定點的距離與到定直線的距離比為常數。

生3：結論均為橢圓。

問題3：請同學們仔細觀察兩定點有什么共同點？

生4：例題與習題中的定點即為橢圓的焦點。

問題4：請同學們再次仔細觀察兩個題目中的定直線有什么共同點？

生5：例題中l：x=■=■，習題中l：x=8=■=■

問題5：兩題中“常數”有什么相同點？

生6：例題中常數為■<1，且■=■；習題中常數為■<1，且■=■。

歸納概括特點：題目中的定點為F（c，0），定直線為l：x=■，常數為■。

得到拓展：點M（x，y）與定點F（c，0）的距離和它到直線l：x=■（a>c）的距離的比是常數■，求點M的軌跡。

解答由學生獨立完成，兩位學生板演。得到點M的軌跡方程為■+■=1（b2=a2-c2），點M的軌跡為橢圓。

（二）類比橢圓的定義，得到橢圓第二定義，即若點M（x，y）與定點F（c，0）的距離和它到直線l：x=■的距離的比是常數■（a>c>0），則點M的軌跡是一個橢圓（如圖1）。定點F（c，0）是橢圓的焦點，直線l：x=■稱為相應于焦點F的準線。由橢圓的對稱性，相應于焦點F'（-c，0）的橢圓的準線l'：x=-■。

（三）信息技術應用加強橢圓第二定義的直觀性

教材43頁，信息技術應用；用幾何畫板探究點M的軌跡（如圖2）。

圖1 圖2

（四）第二定義的應用

（1）由橢圓的第二定義得到橢圓的焦半徑公式

若點M（x0，y0）為橢圓■+■=1上一點，則|MF1|=a+ex0，|MF2|=a-ex0

證明：∵■=■，∴|MF1|=■|x0-■|=|ex0-a|=a-ex0同理|MF2|=a+ex0

（2）由焦半徑公式得|MF1|max=a+c，|MF1|min=a-c。由焦半徑公式不難得|MF1|max=a+c，|MF1|min=a-c。這一性質在應用“到定點距離之和為常數”的“拉線法”作橢圓的演示時已經觀察得出。這里通過焦半徑公式推導，完成實踐——理論的升華。

（3）設橢圓的左焦點為F，AB為橢圓中過點F的弦，試判斷以AB為直徑的圓與左準線的位置關系。

解：設M為弦AB的中點（即圓心），A，B，M在準線l：x=-■上的攝影分別是A'，B'，M'。由橢圓的第二定義得|AB|=|AF|+|BF|，∴|AB|=e（|AA'|+|BB'|）而0

（4）已知A（-2，■），F是■+■=1的右焦點，點M為橢圓的動點，求|MA|+2|MF|的最小值，并求此時M的坐標。

分析：此題主要在于2|MF|的轉化，由第二定義：■=e=■，可得出2|MF|=d，即為M到l（右準線）的距離，再求最小值可較快的求出。

解：過M作MN⊥l于N，l為右準線：x=8，由第二定義得■=e=■，∴2|MF|=d=|MN|，∵|MA|+2|MF|=|MA|+|MN|，要使|MA|+2|MF|為最小值，即|MF|+|MA|為最小，由圖知當A，M，N共線，即AM⊥l時，|MA|+2|MF|為最小，且最小值為A到l的距離為10，此時，可設M（x0，■），代入橢圓方程中，解得：x0=2■，故當M（2■，■）時，|MA|+2|MF|為最小，且最小值為10。

由此可見，橢圓第二定義的巧用，可使題目變為簡單。一般地，遇到一定點到定直線問題若想到第二定義，在解題是可達到事半功倍的效果。

三、教學反思

橢圓、雙曲線的第二定義，教材都以例題、習題的形式呈現出來，教師應該認真深入研究教材，把握教材編寫思路，領會編寫意圖，把握例題、習題的教學目標。處理好橢圓第二定義的探究學習，雙曲線的第二定義的類比學習，以及拋物線定義的學習，得到圓錐曲線的統一定義，將圓錐曲線有機聯系起來，揭示了圓錐曲線內在聯系，與教材開頭語前后呼應，將這一章內容畫了完美的“句號”。

參考文獻：

[1]中學數學課程教材研究開發中心 編著.普通高中課程標準實驗教科書（A版）數學（選修1-1）[M].北京：人民教育出版社，2007：40.