“猜想教學”在初中數學教學中的應用研究

劉貝貝

摘 要：猜想是一種創造性的思維活動，它既是科學發現的先導，也是實現問題解決的一種重要手段。在數學教學中應用猜想教學，能使學生根據已有的知識和材料，通過直覺觀察、動手操作、歸納和類比等方法猜想新知，并對猜想的內容進行驗證。學生由“猜想—驗證”的學習方式，再現數學知識的發現過程，不僅能夠扎實獲得數學知識和技能，靈活運用思想和方法，還能獲得學習的美好體驗，享受發現學習帶來的愉悅，這將有利于改變長期以來數學課堂教學中過分重視學生知識、技能的習得而忽視知識的形成過程和學生的體驗。

關鍵詞：數學猜想教學；應用；主體性

數學猜想即關于數學學術方面的猜想（或稱猜測、假設等），這些猜想有的被驗證為正確的，并成為定理；有的被驗證為錯誤的；還有一些正在驗證過程中。

著名科學家牛頓有句名言：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現和發明。”猜想是對研究的對象或問題進行觀察、實驗、分析、比較、聯想、類比、歸納等，依據已有的知識和材料作出符合一定的經驗與事實的推測性想象的思維形式。

數學猜想就是依據某些已知事實和數學知識，對未知量及其關系所做出的一種推斷，是數學中的合情推理。波利亞指出：數學中有“論證推理和合情推理”兩種推理，它們是思維的兩種形式、兩個方面，它們之間并不矛盾，在數學的發現和發明過程中起交互作用。在嚴格的推理之中，首要的事情是區別證明與推測，區別正確的論證與不正確的嘗試；而在合情推理中，要區別理由較多的推測與理由較少的推測。所以說，數學猜想是合情的推理，而不是不合理的亂猜。本文就“猜想教學”在初中數學中的應用談點個人見解。

一、猜想論證可以激發學生的學習興趣，充分發揮學生學習數學的主體性

實現猜想的途徑，可以是探索試驗、類比、歸納、構造、聯想、審美以及它們之間的組合等。數學猜想是有一定規律的，如類比的規律、歸納的規律等，并且要以數學知識和經驗為支柱。在證明一個數學問題之前，應猜想這個問題的內容；在完全做出詳細證明之前，應先有猜想證明的思路。例如，在《等腰三角形的性質》一節中，教師就可以讓學生動手操作—猜想—論證—等出結論，學生已認識等腰三角形，課前可以讓學生找（或做）一些等腰三角形的模型，經歷動手操作的過程，猜想出等腰三角形的對稱性，再由對稱性得到等腰三角形的相關性質，最后歸納出猜想，一一加以驗證其正確性。這一過程充分激發了學生學習的興趣，調動了學生探索數學問題的積極性。這樣獲得的知識就不再是由老師講解分析，學生理解記憶而得的，而是學生通過“猜想——驗證”的方法自主獲得的。學生對新知進行猜想后急于求知和驗證，學習數學的積極性也就會被充分調動，學生能積極參與接下去的數學活動。在接下去的探索活動中教師引導學生驗證猜想，修正猜想，完善猜想，最終獲得新知，學生由此經歷了數學知識的再發現和再創造，從中獲得了成就和滿足的情感體驗，對數學學習也就會產生濃厚的興趣。另外，應用“猜想教學”，使學生的學習變成一個自主探索的過程。猜想教學要求學生在教師引導下，利用材料，主動探索發現而不是消極接受知識。這種教學體現了學生參與和發現的主體地位。學生在學習過程中以主人翁的姿態出現，以積極的心態調動原有的知識和經驗猜想新知識，同化新知識并不斷構建整個知識體系。

二、數學猜想的方法

1.運用不完全歸納法進行猜想

這種猜想是對研究對象或問題從一定的數量進行觀察、分析，從而得出有關命題、結論、方法。歸納推理是針對一類事物而言的。一類事物A中的部分個體A1、A2…An都具有性質P，那么A中的全部個體是否都具有性質P呢？這就是一個歸納猜想的思維過程。例如，在等邊三角形的兩邊截取BE=CD，那么可以求出則∠APD的度數為60°。在正方形的兩邊截取BE=CD，那么可以求出∠APD=90°。在正五邊形的兩邊截取BE=CD，可以求出∠APD=108°。因此，學生可以根據歸納法得到猜想，當多邊形是正n邊形，兩條線段的一個夾角等于這個正n邊形的每一個內角。

2.運用類比法進行猜想

這種猜想是通過比較兩個對象或問題的相似性得出數學命題的猜想。在A和B兩類事物中，A有性質P成立，B也有性質P成立，A類中還有性質Q成立，B類中是否也有性質Q成立呢？這是一個類比猜想的思維過程。例如，在特殊的平行四邊形判定的證明過程中，我們先掌握了平行四邊形的判定，可以從邊、角、對角線三個方面判定，那么對于特殊的平行四邊形是不是也可以從這三個元素來分析呢？在教學過程中，教師可以引導學生先猜想后論證，矩形的對角線相等，那么對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？也許在這一過程中，還會有學生提出，對角線相等的四邊形是矩形嗎？不完全歸納不僅能提高學生的數學猜想能力，還可以在這一過程將新知進行類比，幫助學生理解記憶。

3.運用對稱的思想進行猜想

這種方法是對研究的對象或問題，運用簡單性、對稱性、相似性、和諧性、奇異性等，結合已有的知識和經驗所作出的知覺性猜想。例如，困難的問題可能存在著簡單的解答、對稱的條件可能存在對稱的結論以及可能會用對稱變換的方法加以解決、和諧的或奇異的構思有助于問題的明朗化或簡單化就是因為使用了對稱的思想。

三、數學猜想的應用

在數學教學實踐中，作為教師，我們應當引導學生大膽地猜想假設，使學生在學好知識的同時，發展能力，激發潛力，教學中鼓勵學生猜想，并讓學生體會猜想的重要意義。

首先，數學猜想有利于更為透徹地理解和掌握數學知識。

數學的特點是邏輯性強，學生在學習時往往只注重知識的表層，或者去死記知識，這樣學生在做題時就出現了知道但是不會做的現象，所以在教學中，教師必須想方設法地讓學生理解所學知識，并掌握這些知識。

數學課本中的很多定理，并不是由純邏輯的演繹推理得到的。多數是由特例，通過觀察、歸納、猜想，最后才是給出證明。教師在講解這些結論時，可以不要先把結論直接告訴學生，而是讓學生一起參與歸納猜想論證。如果教師直接將這些結論拋給學生，學生就會感到很突然，而通過歸納猜想得出結論就顯得很自然。當然這樣的猜想，還要引導學生驗證。

例如在講解多邊形的內角和時，我們可以先帶著學生復習三角形的內角和知識，再鼓勵學生將多邊形分解成三角形，看看有多少種分割方法。這樣，讓學生通過討論，就出現了幾種不同的分割方法，一方面激發學生的學習興趣，另一方面培養學生的動手操作能力。接下來引導學生將多邊形內角和的求法轉化成多個三角形的內角和，其實，這一環節，學生自己也可以想到做到。最后再歸納總結出多邊形的內角和公式：180°·（n-2），學生敘述的語言表達可能不是十分準確，但轉化的方法則非常清楚，學生理解得也更為透徹，這樣學生也更加清楚教材為什么要在講完三角形的內角和后直接講多邊形的知識，引導學生注意數學學習的連貫性，體會類比和轉化的思想。

其次，數學猜想有利于更快捷地尋找解題思路。

數學猜想是數學認識過程中不可缺少的一環節，是數學思維的基本要素，歸納和類比是兩種主要表現形式。數學史上的許多重要成就是借助于數學猜想獲得的，各種數學新觀念的產生，都或多或少有它們的作用。

演繹推理是證明數學結論、表現數學體系的重要形式，但從數學發現過程和數學研究方法的角度看，數學與自然科學一樣又是歸納的科學。中學數學教學應使學生認識到數學既是演繹的科學，又是歸納的科學。數學教學不單單是重現現有的結論和結論的證明過程，問題和結論的發現過程也是重要內容。在教學實踐中應有意識地關注學生的學習過程，關注學生個性與潛能的發展，從而有利于培養學生的創新精神。

參考文獻：

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