有關梯形的面積的知識建構

王進

摘 要：人教版小學數學教材在編排時集中體現了新課程的理念和要求，其知識的編排力求“符合小學生的數學認知特點，同時以螺旋式的方式、由易到難、由淺入深、層層遞進，生動、形象地將數學知識呈現出來”。因此，在編排時將同一學習內容分成幾個階段放在不同的年級進行教學。

關鍵詞：梯形；計算公式；數形結合

在實際教學中，也正是由于教學教材這樣的編排方式，導致學生對知識的遺忘速度相當快。這是因為絕大多數學生對數學知識的認識是非常零散的，感覺它們之間彼此是互不相干的。這和他們對數學知識的系統認識有關。

梯形的面積計算公式在數學中的應用是非常廣泛的。人教版小學五年級上冊，老師在教會學生梯形的面積計算后，就要引導學生進一步探究歸整以下知識。

一、梯形與其他平面圖形

1.梯形與三角形

如果將梯形的上底無限縮短，結果會怎樣？當上底的兩個端點合二為一時，梯形就變成了三角形。而此時梯形的面積公式S=（a+b）h÷2就變成了S=（a+0）h÷2，亦即三角形的面積公式S=ah÷2。因此，三角形可以看做上底為0的特殊梯形。

2.梯形與平行四邊形

將梯形（非直角梯形）的上底沿一端延長，當延長至和下底一樣長時，它就變成了平行四邊形。此時梯形的面積公式S=（a+b）h÷2就變成了S=（a+a）h÷2，化簡之后就變成了S=ah，亦即平行四邊形的面積公式。因此，平行四邊形可以看做上底與下底相等的特殊梯形。

3.梯形與長方形（或正方形）

將直角梯形的上底向非直角的一端延長，當延長至和下底一樣長時，它就變成了長方形。此時梯形的面積公式S=（a+b）h÷2就變成了S=（a+a）h÷2，化簡之后就變成了S=ah，這里的h相當于長方形的寬。因此，長方形（或正方形）可以看做上底與下底相等的直角梯形。

通過對梯形做適當變形，同學們就會發現，這幾種平面圖形看似獨立，其實有內在的聯系。

二、由“形”到“形”

前一個“形”指的是數學中的形，后一個“形”指的是生活中的形。人教版小學數學五年級上冊第98頁有一道這樣的題目（如圖）：

這堆圓木堆放的形狀從一端看近似于梯形，并且堆放有一定的規律性：每層的數量由下而上依次遞減1。

根據題中提示我們知道，計算圓木的數量用到了梯形的面積公式。即把頂層根數看作梯形的上底，把底層根數看作下底，把層數看作高，因此，圓木的數量=（頂層根數+底層根數）×層數÷2。由此可以看出，在生活中，只要是按此種方式堆放成梯形狀的物體都可套用梯形的公式來計算數量。

三、數形結合

數形結合是研究數學和學習數學知識的一種很好的方法。有時需要由數到形，有時需要由形到數。

在上面的例題中，如果不是按照梯形的面積公式來計算圓木的數量的話，我們通常會直接按照以下算式來計算圓木的數量：2+3+4+5+6。從左到右數字依次相加，就求出圓木的數量了。但是當要相加的數字變大增多時，我們還會按這種方法來求和嗎？例如求23+24+25+…+128+129+130的和是多少？顯然難度增大。但是上面的例題給我們提供了一種很好的解決“求幾個連續的自然數的和”的方法，那就是用梯形的面積公式。對于一列連續的自然數，我們都可以把第一個數作為上底，把最后一個數作為下底，把它們的個數作為高，利用梯形面積公式求得它們的和。

繼續引導學生探究：1+3+5+…+135+137+139=？2+4+6+…+296+298+300=？通過探究發現，“求幾個連續的奇數的和”或“求幾個連續的偶數的和”，梯形的面積公式仍然適用。比如求1+3+5+…+135+137+139的和，把1看做梯形的上底，把139看做下底，數的個數（1+139）÷2看做高，運用梯形的面積公式解答。列式：

1+3+5+…+135+137+139

=（1+139）×[（1+139）÷2]÷2

=140×70÷2

=4900

在教學過程中，老師通過層層設疑，讓學生不斷地分析、綜合、運算、判斷推理，將這些知識融會貫通，形成新的知識網絡，構建起新的認識結構，完成有關梯形的面積的知識建構。同時，經過這樣的拓展與遷移，也培養了學生的數學素養，為學生的進一步學習打下堅實的基礎。

編輯 李博寧