動手操作·幾何直觀·比較抽象

巢芳騰

“倍”的知識本質上是兩個量的比較。比較兩個數量的大小，有兩種基本方法；一種是比較它們的差（相差問題）；一種是比較它們的比率關系（倍比問題）。前者在學生頭腦中建構的是“加法結構”，而要真正理解兩個量或多個量之間的比率關系就需要在學生頭腦中建構起“乘法結構”，“倍”的學習正是建構乘法結構的開始。教材是利用學生已有的知識，利用“幾個幾”引出倍的含義后，再從除法的角度加深對倍的概念的理解，讓學生體會倍的本質。由于倍的概念涉及兩個量之間的比較，十分抽象。而借助動手實踐、幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，幫助學生直觀地理解“倍”。因此在教學中，我引導學生動手實踐，提供參與幾何直觀活動的機會，經歷用圖示學習數學的過程。實現從“加法結構”到“乘法結構”的轉變，真正幫助學生理解“倍”。

新教材中“倍的認識”單元將“求一個數的幾倍是多少”和“求一個數是另一個數的幾倍”兩個部分集中編排在一起（實驗教材則是將上述兩個部分分散在二上、二下）。這樣編排的優勢在于“求一個數是另一個的幾倍”順應了“倍”的概念的來歷，便于學生理解和接受。

一、動手操作——促進學生對“倍”的理解

本冊教材中“倍的認識”的教學，要讓學生直觀、形象地建立“倍”的概念，離不開學生的實踐和想象。

1.擺一擺

教材中呈現的例1（第50頁）的情境圖是1只黑兔、2只灰兔、3只白兔，一共拔了2根胡蘿卜、6根紅蘿卜、10根白蘿卜，所有的蘿卜無序擺放。在教學中教師要讓學生動手擺一擺，通過“擺一擺”體會到，要將三種蘿卜進行比較，最好的辦法就是先將三種蘿卜分類，然后進行有序擺放，并做到一一對應；這樣一眼就能看到哪種蘿卜多，多多少。再引申到另一種比較方法，把2根胡蘿卜當做1份，6根紅蘿卜可以分成3份，就是3份2根，即紅蘿卜的根數是胡蘿卜的3倍；那白蘿卜的根數是胡蘿卜的5倍。

2.圈一圈

將紅蘿卜和白蘿卜進行比較時，讓學生圈一圈，紅蘿卜有幾個2根，白蘿卜有幾個2根；進而得出紅蘿卜、白蘿卜的根數分別是胡蘿卜的幾倍。通過學生動手圈一圈，初步感知倍的含義。

3.畫一畫

“倍”的概念建立在幾個幾的基礎上，有幾個幾引申得到。為了讓學生深刻理解“倍”的概念，教師可以引導學生多畫幾組，例如：〇有3個，△的個數是〇的2倍，請畫出△的個數；★的個數是□的3倍，請畫出★和□的個數。同桌之間相互出題，讓對方畫一畫，加深“倍”的理解。

4.說一說

不管是在“擺一擺”環節，還是在“圈一圈”“畫一畫”環節，教師都應對引導學生用完整的語言說出“倍”的來歷。例如：胡蘿卜2根，紅蘿卜有3個2根，所以紅蘿卜的根數是胡蘿卜的3倍；培養學生的口頭表達能力。

5.想一想

如果小兔子吃掉了1根紅蘿卜，現在白蘿卜的根數與紅蘿卜的根數又有怎樣的關系呢？在動畫的引導下，不斷改變所比較的兩個量的數量，在豐富的比較活動中，進一步理解倍的含義，引導學生想一想倍的本質是兩個數量在相互比較，即用其中的一個量作為標準，另一個量包含了幾個這個量就是它的幾倍，感受比的“標準”的重要。

二、幾何直觀——理清相關數量之間的關系

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中把“幾何直觀”作為核心概念提出，并明確其內涵“主要是指利用圖形描述和分析問題”。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路。因此，在數學教學中，特別是在“解決問題”內容的教學中，教師應重視引導學生畫出示意圖或線段圖，幫助學生理清相關數量之間的關系，會使課堂教學達到事半功倍的效果。

本冊教材中“倍的認識”例2（第51頁）是借助示意圖幫助學生理解擦桌椅的人數與掃地人數之間的關系，要求擦桌椅的人數是掃地的幾倍，就是求12里面有幾個4，用除法計算。例3（第52頁）是借助線段圖（如上圖）幫助學生理解象棋的價錢與軍棋價錢之間的關系，要求象棋的價錢，就是求4個8是多少元。

關于倍的實際問題，主要有三類：求一個數是另一個數的幾倍；求一個數的幾倍是多少；已知一個數的幾倍是多少，求這個數。在解決問題中，借助直觀示意圖和線段圖分析數量，展示了倍比關系的基本結構：“兩個量比較，一個量包含幾個另一個量”，并運用除法和乘法解決，在提高學生用所學知識解決問題的同時，加深學生對倍概念的認識。

三、比較抽象——尋找解決問題的策略

烏申斯基說：“比較是一切理解和一切思維的基礎，我們正是通過比較來了解世界上的一切的……”。“倍”表示兩類事物在量的比較中的一種關系，是看不見摸不著的，借助形象理解抽象的“倍”，經歷倍的認識從“直觀模型”到“抽象數量關系”的轉化，并用簡單的語言表達出來，把“倍的認識”提升到概念性的水平。

本冊教材中“倍的認識”例2、例3的2個解決問題，意在加強“倍”的知識在生活中的應用，立足學生的親身實踐，根據學生對“倍”概念的理解，引導學生畫出相應的示意圖或線段圖，理清相關的數學之間關系，找到解決問題的方法，并在比較、抽象中提煉問題的本質，尋找解決類似問題的策略。

認識“倍”概念的過程，就是一個幫助學生逐漸抽象，最后領悟本質的過程。而要抽象，就必須進行比較，沒有比較就無法找到共同的部分。因此可以說比較是抽象的前提，抽象是比較的目的，學生正是在不斷對比與抽象中把握了概念“倍”。

編輯 郭小琴