題組變式訓練(二)
——數學文化類高考訓練題

山東 尹承利

題組變式訓練(二)
——數學文化類高考訓練題

【數列】

1.《九章算術》是我國古代數學名著，其中有道“竹九節”問題：“今有竹九節，下三節容四升，上四節容三升，問中間二節欲均容各多少？”意思為：今有竹九節，下三節容量和為4升，上四節容量之和為3升，且每一節容量變化均勻(即每節容量成等差數列).問每節容量各為多少？在這個問題中，中間一節的容量為

( )

2.《九章算術》里有一段敘述：“今有良馬與駑馬發長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復還迎駑馬，二馬相逢.問：幾日相逢？”這道題的答案是

( )

A.12日 B.16日

C.8日 D.9日

3.(2016·河北三市第二次聯考)古代數學著作《九章算術》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺.問日幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天織了5尺布，問這女子每天分別織布多少？”根據上題的條件，若要使織布的總尺數不少于30尺，該女子所需的天數至少為

( )

A.7 B.8

C.9 D.10

4.南北朝時，在公元466—484年，張邱建寫了一部算經，即《張邱建算經》，在這本算經中，張邱建對等差數列的研究有一定的貢獻，例如算經中有一道題為：“今有十等人，每等一人，宮賜金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中間三人未到者，亦依等次更給.”則每一等人比下一等人多得________斤金.(不作近似計算)

5.我國古代數學名著《九章算術》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有厚十尺，兩鼠對穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？”現用程序框圖描述，如圖所示，則輸出的結果n=

( )

A.4 B.5 C.2 D.3

【立體幾何】

1.《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中虛線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側面積為

( )

2.《九章算術》中記載了公元前344年商鞅督造一種標準量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸).若π取3，其體積為12.6 (立方寸)，則圖中的x= ，其表面積為 .(說明：求表面積時，π不取近似值)

( )

A.1丈3尺

B.5丈4尺

C.9丈2尺

D.48丈6尺

4.《九章算術》是我國古代數學經典，其對勾股定理的論述比西方早一千多年.其中有這樣一個問題：“今有圓材埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問徑幾何？”其意為：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸該材料，鋸口深1寸，鋸道長1尺.問這塊圓柱形木料的直徑是多少？長為1丈的圓柱形木材部分鑲嵌在墻體中，截面圖如圖所示(陰影部分為鑲嵌在墻體內的部分).

A.600立方寸

B.610立方寸

C.620立方寸

D.633立方寸

5.《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早1 000多年.例如塹堵指底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱，陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑指四個面均為直角三角形的四面體.如圖，在塹堵ABC-A1B1C1中，AC⊥BC.

(1)求證：四棱錐B-A1ACC1為陽馬，并判斷四面體A1CBC1是否為鱉臑，若是寫出各個面的直角(只寫出結論)；

(2)若A1A=AB=2，當陽馬B-A1ACC1體積最大時；

①求塹堵ABC-A1B1C1的體積；

②求C到平面A1BC1的距離；

③求二面角C-A1B-C1的余弦值.

【解析幾何】

【概率統計】

甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639

乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620

根據上述兩個樣本來估計兩個批次的總體平均數，與標準值0.618比較，正確的結論是

( )

A.甲批次的總體平均數與標準值更接近

B.乙批次的總體平均數與標準值更接近

C.兩個批次總體平均數與標準值接近程度相同

D.兩個批次總體平均數與標準值接近程度不能確定

2.在下圖的楊輝三角的第 行出現三個相鄰的數，其比為3∶4∶5.

第0行 1

第1行 1 1

第2行 1 2 1

第3行 1 3 3 1

第4行 1 4 6 4 1

第5行 1 51010 5 1

… … …

3.如圖的楊輝三角：

4.如圖滿足：(1)第n行的首尾兩數均為n；(2)表中的遞推關系類似楊輝三角.則第n(n≥2)行的第2個數為 .

5.按照下圖中的規律，從左往右數第8行第3個數為 .

“數學文化”類高考訓練題組二答案

【數列】

【立體幾何】

3.解：設圓柱底圓半徑為R，則1.62×2 000≈3R2×13.33，解得R≈81尺.圓柱底圓周長約為2πR≈48.6.故選D.

所以∠AOD=22.5°,即∠AOB=45°，

5.解：(1)證明：由塹堵ABC-A1B1C1的性質知：

四邊形A1ACC1為矩形.

因為A1A⊥底面ABC，BC?平面ABC，

所以BC⊥A1A，

又BC⊥AC，A1A∩AC=A，A1A，AC?平面A1ACC1，

所以BC⊥平面A1ACC1,所以四棱錐B-A1ACC1為陽馬，且四面體A1CBC1為鱉臑，四個面的直角分別是∠A1CB，∠A1C1C，∠BCC1，∠A1C1B.

①塹堵ABC-A1B1C1的體積

②由題意與題圖知，

設C到平面A1BC1的距離為d，則

③設C在平面A1BC1上的射影為D(事實上D∈BC1).在A1B上的射影為E.

連接DE，易知A1B⊥ED.

所以∠CED即為二面角C-A1B-C1的平面角.

由直角三角形A1BC得

【解析幾何】

1.解：設水深為x，則x2+52=(x+1)2，解得x=12.

以AB所在的直線為x軸，蘆葦所在的直線為y軸，建立直角坐標系，

在牽引過程中，P的軌跡是以O為圓心，半徑為13的圓，

其方程為x2+y2=169(-5≤x≤5,12≤y≤13)，①

【概率統計】

所以甲批次的總體平均數與標準值更接近.故選A.

解得k=27,n=62.故在第62行出現.