構(gòu)建模型解排列組合問題

湖北 聶文喜

(作者單位：湖北省廣水市第一中學(xué))

構(gòu)建模型解排列組合問題

有些排列組合問題比較抽象，難以找到解題的突破口，這時(shí)構(gòu)建恰當(dāng)?shù)哪Ｐ停梢詭椭覀兝斫鈫栴}的實(shí)質(zhì)，從而可以快捷地解決某些排列組合問題.

一、構(gòu)造四邊形模型

【例1】圓周上有15個(gè)不同的點(diǎn)，過任何兩點(diǎn)連一條直線，這些直線在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有 個(gè).

【變式1】圓周上有6個(gè)不同的點(diǎn)，過任何兩點(diǎn)連一條直線，這些直線在圓外的交點(diǎn)最多有 個(gè).

二、構(gòu)造四面體模型

【例2】(2005·新課標(biāo)Ⅰ)過三棱柱任意兩個(gè)頂點(diǎn)的直線共有15條，其中異面直線有

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A.18對 B.24對

C.30對 D.36對

【點(diǎn)評】四面體的6條棱所在直線上，有且僅有3對異面直線，因此本題可轉(zhuǎn)化為過三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)可作多少個(gè)四面體，進(jìn)而可求出有多少對異面直線.

【變式2】如圖1，A，B，C，D為海上的四個(gè)小島，要建三座橋，將這四個(gè)小島連接起來，則不同的建橋方法有 種.

圖1 圖2

三、構(gòu)造等價(jià)命題

【例3】(2016·新課標(biāo)Ⅱ理·5)如圖3，小明先從街道的E處出發(fā)，到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為

( )

圖3

A.24 B.18

C.12 D.9

由乘法原理得小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)6×3=18，故選B.

【變式3】今有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列有 種不同的方法.

四、構(gòu)造方程模型

【例4】設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸跳動，每次向正方向或負(fù)方向跳動1個(gè)單位，經(jīng)過5次跳動質(zhì)點(diǎn)落在點(diǎn)(3，0)(允許重復(fù)過此點(diǎn))處，則質(zhì)點(diǎn)不同的運(yùn)動方法共有 種(用數(shù)字作答).

【點(diǎn)評】質(zhì)點(diǎn)5次跳動中可以向左跳，也可以向右跳，關(guān)鍵確定幾次向左跳，幾次向右跳，利用方程思想可以方便地解決.

【變式4】設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，每次向右或向上跳動1個(gè)單位，經(jīng)過7次跳動質(zhì)點(diǎn)落在(4，3)處，則質(zhì)點(diǎn)不同的跳動方法共有 種.

【變式5】有一樓梯共有11級，若規(guī)定每步只能跨1級或2級，必須用7步走完，共有多少種不同的走法.

五、構(gòu)造隔板模型

【例5】(1) 體育老師將15個(gè)相同的足球放入4個(gè)不同的箱子中，要求每個(gè)箱子至少放入1個(gè)小球，有多少種不同的放法？

(2)體育老師將15個(gè)相同的足球放入編號為1，2，3，4的四個(gè)箱子中，要求每個(gè)箱子放球的個(gè)數(shù)不少于其編號數(shù)，則有多少種不同的放法？

(3) 體育老師將15個(gè)相同的足球放入4個(gè)不同的箱子中，有多少種不同的放法？

本例中(2)(3)小題，表面上不是隔板模型，但通過等價(jià)轉(zhuǎn)化可化為隔板模型.

【變式6】某中學(xué)從高三年級10個(gè)班中選出15名學(xué)生組成校代表隊(duì)參加全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，每班至少有1人參加的選法有多少種？

六、構(gòu)造數(shù)列模型

【例6】甲、乙、丙、丁4個(gè)人傳球，由甲開始第一次傳球，每次傳球到每個(gè)人手中是等可能的，經(jīng)過4次傳球后，求球又回到甲手中的不同傳球方式有多少種？

【點(diǎn)評】此題常規(guī)方法有直接法、樹形圖法等；當(dāng)人數(shù)、傳球次數(shù)都很多時(shí)，上述方法很難解決，構(gòu)造數(shù)列模型就可以輕松解決了.

【變式7】有一樓梯共10級，如果規(guī)定每步只能跨上1級或2級，要走上10級，共有多少種走法？

(作者單位：湖北省廣水市第一中學(xué))