運用“點圓”法求圓的方程

山西 李有貴

運用“點圓”法求圓的方程

在平面解析幾何中，求解有關方程的問題時，往往要建立方程組，借助于解方程的方法進行求解，但由于未知數較多，從而容易造成“入手容易”“答對困難”的現象.其主要原因是未知數多，運算量大，這樣不僅影響了解題速度，也極容易出錯.因而，盡量減少運算量是快速、準確解答此類問題的關鍵.為此，本文將介紹運用“點圓”的思想巧求方程的方法，供同學們借鑒與參考，從而啟迪思維，提高解題能力.

【例1】有一圓與直線4x-3y+6=0相切于點A(3,6)，且經過點B(5,2)，求此圓的方程.

【解】將點A(3,6)表示成“點圓”形式：(x-3)2+(y-6)2=0，設所求圓的方程為(x-3)2+(y-6)2+λ(4x-3y+6)=0，將點B(5,2)代入上述圓方程得，λ=-1.

所以滿足條件的圓方程為(x-3)2+(y-6)2-(4x-3y+6)=0

即x2+y2-10x-9y+39=0為所求的圓方程.

【評注】本例大家需要做好兩個準備：

其一：所謂“點圓”，就是將平面上某一點看成是以此點為圓心，半徑為0的圓，即約定點(a,b)的方程為(x-a)2+(y-b)2=0；

其二：過直線Ax+By+C=0與圓(x-a)2+(y-b)2-r2=0的公共點的圓系方程為

(x-a)2+(y-b)2-r2+λ(Ax+By+C)=0，

過兩圓x2+y2+D1x+E1y+F1=0與x2+y2+D2x+E2y+F2=0的公共點的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0.

【例2】求經過點M(4,-1)，且與圓C:x2+y2+2x-6y+5=0相切于點N(1,2)的圓方程.

【解】將點N(1,2)表示成“點圓”形式，

即(x-1)2+(y-2)2=0，

設所求的圓方程為

(x-1)2+(y-2)2+λ(x2+y2+2x-6y+5)=0，

將點M(4,-1)代入上式得

18+36λ=0,

所以滿足條件的圓方程為

即(x-3)2+(y-1)2=5為所求的圓方程.

【評注】切點看成點圓,這時所求圓就是過已知圓與點圓的公共點的圓,因而可以過兩圓公共點的圓系方程求解.設出圓系方程,代入點M的坐標就可求出圓的方程.常規解法，求出線段MN的垂直平分線l1的方程，以及直線CN的方程，兩直線l1,CN的交點即為圓心A，再求出AN的長度，得到圓的方程.

【例3】求與直線l1:4x-3y+25=0相切于點A(-4,3)，且半徑為5的圓方程.

【解】將切點(-4,3)表示成“點圓”形式，

即(x+4)2+(y-3)2=0，

設所求的圓方程為

(x+4)2+(y-3)2+λ(4x-3y+25)=0，

因為此圓半徑為5，

即λ=±2

故所求的圓方程為(x+8)2+(y-6)2=25或x2+y2=25.

【評注】切點看成點圓,這時所求圓就是過直線與點圓的公共點的圓,因而可以用過直線與圓公共點的圓系方程求解.設出圓系方程,將方程變成圓的標準形式，利用半徑為5，求出λ的值，因而得到圓的方程.常規解法，求出以A為圓心5為半徑的圓的方程與過A(-4,3)垂直于直線l1的直線l2的方程的交點，得到兩個圓心坐標，寫出圓的方程.

【例4】求圓心在直線l1:2x+y=0，且與直線l2:x+y=1相切于點A(2,-1)的圓的方程.

【解】將點(2,-1)表示成“點圓”形式，

即(x-2)2+(y+1)2=0.

設所求的圓方程為(x-2)2+(y+1)2+λ(x+y-1)=0，

因圓心在直線2x+y=0上，

即λ=2，

所以所求圓的方程為

(x-1)2+(y+2)2=4.

【評注】切點看成點圓,這時所求圓就是過直線與點圓的公共點的圓,因而可以用過直線與圓公共點的圓系方程求解.設出圓系方程,找到圓心坐標，代入圓心所在直線方程，求出λ的值，因而得到圓的方程.常規解法，先求出點A(2,-1)與直線l2垂直的直線l3的方程，再求出兩直線l1,l3的交點，即為圓心M.最后求出MA的長度，得到圓的方程.

山西省臨縣第一中學)