一道高考題命制思路的探源與延伸

上海 侯寶坤

(作者單位：上海市向明中學，陜西省西安市高新第三中學)

一道高考題命制思路的探源與延伸

陜西 呂二動

高考題源于教材又高于教材，既對知識與方法進行考查，又對思維縝密性進行考查，好的考題對教學研究有很大的促進作用，又有較大的探究空間.上海2016年高考第13題就是這樣的一道好題.本文筆者將對試題考點及拓展性進行分析研究.

此問題是多變量問題,對學生來說似熟也生,他們經常遇到的是a,b>0問題,這是一個打破思維定式的問題,也是一個開放性的問題.

一、題目思路分析

策略1.誘導公式

策略2.輔助角公式

策略3.函數y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質

( )

A.x軸 B.y軸

【答案】C

二、題目思路的延伸

延伸思路1:原題是從等式恒成立角度命制的，我們還可以從有解的角度研究，如：

【新問題1】關于x的方程sinx=asin(x+φ)(a>0)在x∈[0,2π)有且只有兩解，求a,φ滿足的條件.

圖1

圖2

當a=1時，根據圖3，當P點不與A重合時，直線PA的斜率存在，方程只有兩解；當P與A重合時，PA為切線斜率不存在，此時有無數解.

當a>1時，根據圖4，直線PA與圓相交，斜率存在時，方程只有兩解；PA的斜率不存在，與圓交點縱坐標不為0，方程也只有兩解.

這兩種情況的解可以取遍[0,2π).

圖3

圖4

根據我們的研究，可以命制以下試題.

【試題2】當00)在x∈[0,2π)解得tanx范圍為 .

【答案】a≥1

【試題5】對任意φ∈[0,2π)，關于x的方程sinx=asin(x+φ)(a>0)在x∈[0,2π)只有兩個不等實數解，則實數a的范圍是 .

【答案】a∈(0,1)∪(1,+∞)

延伸思路2：取一般數值比較難，根據極端原理，我們取最大或最小值研究，于是有

【新問題2】關于x的方程sinωx+sin(ωx+φ)=2有解，求ω,φ滿足的條件.

延伸思路3：我們將兩個函數的周期變得不同，形成含有三個變量的問題.

【新問題3】關于x的方程sinω1x+sinω2x=2有解，求ω1,ω2滿足的條件，及解的特征.

【試題6】已知關于x的方程sinx+sin5x=2，則它的前十個正根的和為 .

【答案】95π

【試題7】使關于x的方程sinω1x+sinω2x=2沒有實數解的一個實數對(ω1，ω2)為 .

延伸思路4：由于上述問題的自由度太大，完全解決有較大困難，我們可以增強變量之間的聯系.如限定ω1>ω2>0,x>0，我們有以下問題.

當m=0時，方程無解；

延伸思路5：數列前后項的聯系比較緊密，可以達到控制變量的目的，如果將問題和數列相連，我們又可以構造問題：

【新問題5】是否存在等差數列{an}，滿足sinan+sinan+1=m，如果存在求公差d和m應滿足的條件.

【新問題6】是否存在等比數列{an}，滿足sinan+sinan+1=m，如果存在求公比q和m應滿足的條件.

同樣方法可以發現q=±1，m,sinan也相似.

根據這個研究可以有：

【試題9】公差為d≠0的等差數列{an}，滿足sinan+sinan+1=m，則cosd= .

【答案】±1

【試題10】公比q≠1等比數列{an}，滿足sinan+sinan+1=m，則m= .

【答案】0

(作者單位：上海市向明中學，陜西省西安市高新第三中學)