慧眼識別霧中花 基礎聯想還本質

江蘇 王安寓

(作者單位：江蘇省南京市六合區實驗高級中學)

慧眼識別霧中花 基礎聯想還本質

2016—2107學年南京高三上學期期中考試數學試卷中出現了兩道稍有爭議的題目，很多老師認為它們超綱了，不適合學生們做.筆者認為這恰好是符合高考精神的兩道好題——多考“想”的少考“算”的，思維才是一個考生的根本.我們應擦亮慧眼，聯想基礎知識，展現思維能力，還好題以數學本質.

筆者初次接觸這道題目，初步認為是考查旋轉矩陣的，但仔細思考，文科考生是不學矩陣的，無從計算，故不可能只是用旋轉矩陣來求解.那么，應該從哪個角度突破呢？筆者認為可以從三個角度解決該問題.

視角一：解析幾何中的對稱問題

對稱問題主要就是兩點：對稱兩點的中點在對稱軸上、對稱的兩點連線與對稱軸垂直.具體到題目1，就是：在對勾曲線上的對稱的兩點的中點在對稱軸上、對稱的兩點連線與對稱軸垂直.從這個角度入手，必能解決問題.

聯想基礎知識：雙曲線的對稱軸必過雙曲線的對稱中心.對勾函數是雙曲線，其對稱中心為原點.

點評：本題極易錯解為過極值點(1,2)和(-1,-2)的直線為對勾函數的對稱軸.極值點是函數從一種單調性變為另一種單調性時的界點，不一定是雙曲線的頂點.

方法一運用的知識點是對稱問題的常規考點，只是將對稱的兩點在對勾函數圖象上提前使用，將對稱的知識點后置.這種運算順序是合理的.

視角二：巧用韋達定理

對勾函數圖象上的所有點關于對稱軸對稱，逆向思考，與對稱軸垂直的直線，如果與對勾函數圖象相交，則兩個交點必關于對稱軸對稱.

聯想基礎知識：雙曲線的對稱軸必過雙曲線的對稱中心.對勾函數是雙曲線，其對稱中心為原點.有如下解法：

【點評】這種解法有很熟悉的感覺.常規處理解析幾何的手段和過程就是這樣的.方法二較方法一的優點就是求對稱的兩點的中點時書寫簡單，整個過程一氣呵成，但所用知識點仍是基礎內容.視角二仍是解析幾何的視角，只是更進一步，想的更多一點，因此書寫的少一點.

視角三：雙曲線的實軸平分兩條漸近線

聯想雙曲線對稱軸的性質：雙曲線的實軸過雙曲線的兩個頂點，且平分兩條漸近線.這恰是破題的關鍵點.

聯想基礎知識：雙曲線的對稱軸必過雙曲線的對稱中心.對勾函數是雙曲線，其對稱中心為原點.雙曲線的實軸除了過雙曲線的頂點外，它還平分兩條漸近線的夾角.對勾函數的兩條漸近線分別是：y=x與y軸.

【點評】從平分兩條漸近線的夾角入手破題是最簡單的求解方法.對勾函數有兩條漸近線，漸近線夾角的平分線即為對稱軸.多么基礎的知識！正所謂：慧眼識別霧中花，基礎聯想還本質.這道題目一點也不超綱，考查的都是基礎知識.方法一和方法二是從對稱的計算入手求解；方法三是從雙曲線的對稱軸的特點入手求解.特別是方法三，只是運用了角平分線、倍角公式，就解決了問題，更顯本題的基礎性，重在考查考生的思維能力，多想才能少算.

另外，該題也給我們提供了求類似函數的對稱軸的方法，運用方法三可以得到以下結論：

另外，給出結論1的一個簡單應用：

運用了雙曲線上任意兩點之間，頂點距離最小.

方法一：∵x-y-1<0，

∴x

∵4x-y-3≥0，

∴4x-y-1≥2.

【點評】這種方法涉及的都是基礎知識(基本的不等式運算和兩個正數的均值公式)，一點也不超綱.看到不等式組的條件，就一定用線性規劃嗎？思維不能僵化.要用慧眼識別霧中花，基礎知識搞定它.

線性規劃的方法真的不行嗎？答案是否定的.線性規劃的目標函數是直線型的居多，但也有非直線型的目標函數.

圖1

【點評】運用線性規劃知識求解該題目，難點是對“目標函數”的解讀.“目標函數”是一次分式型函數(雙曲線)，如何運動變化是理解或求解的難點.抓住一次分式型函數(雙曲線)的漸近線的運動變化，觀察一次分式型函數(雙曲線)與可行域的關系，找到可能的分界點(或分界位置)，通過導數、方程組求解.

當然，在考場上，有限的時間內，作精細的圖形是不可能的，時間也不允許.我們可以通過換元，轉移戰場——將“目標函數”簡化，而已知的約束條件復雜化，得到方法三.

當2-u=0時，由2v(2-u)≥u得0≥u，矛盾；

圖2

【點評】利用換元將目標函數化為常規的直線，但約束條件中出現了非直線，并且要分類討論.這也是必須的，畢竟是14題，起到選拔作用.我所帶的班級30人中只有1人做對，真正起到了把關的作用.換元后的圖形相對好做一點，至少能用線性規劃知識求解.

另外，在高考試題中，這樣考查線性規劃的題目也是有的.

當直線y=zx與曲線y=ex相切時,z最小.

設直線y=zx與曲線y=ex相切于點B(x0,y0),

∴z的最小值為e.

(作者單位：江蘇省南京市六合區實驗高級中學)