導數中的“設而不求”

江蘇 陳燕青

(作者單位：江蘇省新海高級中學)

導數中的“設而不求”

在遇到與一元二次方程的根有關的問題的時候，為了便于解決問題，解題常常采用的策略是不求根而用根與系數滿足的關系式代入目標問題整體運算，即采用“設而不求”的方法.

在解一些導數問題時，注意到極值點是f′(x0)=0的根，我們也可以借用這種思想方法，不求極值點x0的值，而用x0滿足的代數式整體代入目標問題，解決求極值的問題.

【解】依題得y=f′(x)=x2-2x+a=0 ①有兩個不相等的實數根，即Δ=4-4a>0,∴a<1，

設方程①的兩個根為x1,x2，

將(*)代入迭代降冪

所以f′(x)在(0，+∞)上單調遞增，

∵f′(a)>0，又當x→0時f′(x)→-∞,

又由此式取對數得lnx0=lna-ln2-2x0(*)，

且當x∈(0,x0)時，f′(x0)<0;當x∈(x0,+∞)時，f′(x)>0，

故f(x)在(0,x0)上單調遞減，在(x0,+∞)上單調遞增.

所以當x=x0時，f(x)取得最小值，且f(x)min=f(x0)=e2x0-alnx0.將(*)代入f(x0)，

(作者單位：江蘇省新海高級中學)